Considere os espaços vetoriais V dados abaixo, com as operaçães usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W é subespaço vetorial de V e prove que sua resposta está correta:
V=M2 times 2(C), W=[ccx+i y & 0 x & -y] ; x, y in C.

Passo 1

O enunciado define
V = M2times 2(C)
com as operações usuais, e
W = lx+i y & 0[6pt]x & -y;;;x,yinCr
Queremos decidir se W é subespaço de V. Para isso usamos o critério padrão:
1) Wneqvarnothing (contém o vetor zero);
2) W é fechado sob adição;
3) W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

Mostramos que o zero de V pertence a W. Basta escolher x=0 e y=0. Então
0+icdot0 & 0[3pt]0 & -0 = 0 & 0[3pt]0 & 0,
que é a matriz zero de M2times 2(C). Logo W não é vazio e contém o vetor zero.]

Passo 3

Verificamos a fechadura sob adição. Se
A=x1+i y1 & 0[3pt]x1 & -y1, B=x2+i y2 & 0[3pt]x2 & -y2
são em W, então
A+B = (x1+i y1)+(x2+i y2) & 0[3pt]x1+x2 & -y1-y2 = (x1+x2)+i(y1+y2) & 0[3pt]x1+x2 & -(y1+y2)
Definindo x'=x1+x2 e y'=y1+y2, vemos que A+B tem a forma exigida e portanto pertence a W.]

Passo 4

Verificamos a fechadura sob multiplicação por escalar. Seja cinC e
A=x+i y & 0[3pt]x & -yin W
Então
c,A = c,(x+i y) & 0[3pt]c,x & -c,y = (c x)+i(c y) & 0[3pt]c x & -(c y)
Seja x'=c x e y'=c y. Então cA também está em W.]

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados