Considere os espaços vetoriais V dados abaixo, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar. Para cada caso abaixo, responda (justificando) se o subconjunto dado S subset V é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Se S for LI, obtenha uma base (prove) beta de V que contenha S.
Se S for LD, obtenha uma base para W=[S] (subespaço gerado por S ), dim W e responda se W=V
S=(1,0,0,-1,2),(1,1,0,-1,1),(0,2,1,0,-1) subset R^5

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^5 e o subconjunto
,S=v1,v2,v3 com
v1=(1,0,0,-1,2), v2=(1,1,0,-1,1), v3=(0,2,1,0,-1)
Pergunta-se se S é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Se for LI, devemos estender S a uma base de V.

Passo 2

Para testar independência, consideramos
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
Isso gera, coordenada a coordenada:
– 3.ª coordenada: a3=0.
– 2.ª coordenada: a2 + 2a3 = 0 implica a2=0.
– 1.ª coordenada: a1 + a2 = 0 implica a1=0.
As outras duas coordenadas (4.ª e 5.ª) são então automaticamente satisfeitas. Logo, a única solução é a1=a2=a3=0. Concluímos que S é linearmente independente.

Passo 3

Sabendo que dim R^5=5 e que S tem 3 vetores LI, pelo teorema de extensão de base podemos adicionar mais 2 vetores para obter uma base de R^5. Uma escolha simples é
e4=(0,0,0,1,0), e5=(0,0,0,0,1)
Mostramos que Scupe4,e5 permanece LI. Se
a1v1+a2v2+a3v3 + b,e4 + c,e5 = 0,
pela 3.ª, 4.ª e 5.ª coordenadas obtemos a3=0, b=0, c=0. Daí pelas 1.ª e 2.ª segue a1=a2=0. Só a solução trivial, logo são 5 vetores LI em R^5, formam base.

Resposta

S é linearmente independente. Uma base de R^5 que contém S é
beta = l(1,0,0,-1,2),;(1,1,0,-1,1),;(0,2,1,0,-1),;(0,0,0,1,0),;(0,0,0,0,1)r

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