Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar. Para cada caso abaixo, responda (justificando) se o subconjunto dado
é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Se
for LI, obtenha uma base (prove)
de
que contenha
.
Se
for LD, obtenha uma base para
(subespaço gerado por
),
e responda se
Se
Se
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
com
Pergunta-se se
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Se for LI, devemos estender
a uma base de
.
Passo 2
Para testar independência, consideramos
Isso gera, coordenada a coordenada:
– 3.ª coordenada: .
– 2.ª coordenada: implica
.
– 1.ª coordenada: implica
.
As outras duas coordenadas (4.ª e 5.ª) são então automaticamente satisfeitas. Logo, a única solução é . Concluímos que
é linearmente independente.
– 3.ª coordenada:
– 2.ª coordenada:
– 1.ª coordenada:
As outras duas coordenadas (4.ª e 5.ª) são então automaticamente satisfeitas. Logo, a única solução é
Passo 3
Sabendo que
e que
tem 3 vetores LI, pelo teorema de extensão de base podemos adicionar mais 2 vetores para obter uma base de
. Uma escolha simples é
Mostramos que
permanece LI. Se
pela 3.ª, 4.ª e 5.ª coordenadas obtemos
,
,
. Daí pelas 1.ª e 2.ª segue
. Só a solução trivial, logo são 5 vetores LI em
, formam base.