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Sejam A e B duas bases do R^2 e seja
[I d]A, B=(rr 1 & 0 -1 & -1 )
a matriz de mudança de base A para B. Ache a base B sabendo que A=(1,2),(0,1).

Passo 1

O enunciado diz que temos duas bases A e B de R^2, sendo
A = ,a1,a2 com a1 = (1,2),;a2 = (0,1),
e que a matriz de mudança de base de A para B (que é a matriz de Id vista de A em B) é
[Id]A,B = 1 & 0 -1 & -1
O que precisamos usar é a ideia de coordenadas: se [v]A é o vetor de coordenadas de v em A, então
[v]B ;=; [Id]A,B,[v]A
Em particular, as colunas dessa matriz são justamente as coordenadas dos vetores de A na base B.

Passo 2

Das colunas de
[Id]A,B = 1 & 0 -1 & -1 ,
vemos que
[a1]B = 1-1, [a2]B = 0-1
Isto significa que, escrevendo b1,b2 os vetores de B,
a1 = 1cdotb1 + (-1)cdotb2, a2 = 0cdotb1 + (-1)cdotb2

Passo 3

Do segundo relacionamento
a2 = -,b2 Longrightarrow b2 = -,a2
Substituindo na primeira equação:
a1 = b1 - b2 ;Longrightarrow; b1 = a1 + b2 = a1 - a2

Passo 4

Como a1=(1,2) e a2=(0,1), temos
b2 = -,(0,1) = (0,-1), b1 = (1,2) - (0,1) = (1,1)
Logo a base B é formada pelos vetores b1 e b2 que acabamos de achar.

Resposta

A base B é
B = l(1,1),,(0,-1)r

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