Considere os espaços vetoriais V dados abaixo, com as operaçães usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W é subespaço vetorial de V e prove que sua resposta está correta:
V=P2(R), W=a x^2-x+b ; a, b in R

Passo 1

O enunciado define
V = P2(R), o espaço de todos os polinômios reais de grau no máximo 2, e
W = ,a x^2 - x + b ;|; a,b in R,.
Queremos saber se W é subespaço de V. Para isso basta verificar se W contém o polinômio zero e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Teste do vetor zero: o elemento neutro em
Se , existirão tais que
ô
Comparando coeficientes, obtemos o sistema
Mas que façam esse polinômio ser o zero. Portanto

Passo 3

Como um subespaço vetorial deve obrigatoriamente conter o vetor zero e W não o contém, concluímos que W não é subespaço de V.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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