Considere os espaços vetoriais mathbb{R}^{4} e mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais. Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) a transformação linear definida por
T(x, y, z, w)=\left[\begin{array}{cc} x-3 y & -x+2 z \\\ y & w \end{array}\right] .
Sejam \beta=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} a base canônica de \mathbb{R}^{4} e \alpha=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\} a base canônica de M_{2}(\mathbb{R}).
Determine a matriz [T]_{\alpha}^{\beta}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) definida por
T(x,y,z,w)=\begin{pmatrix}x-3y & -x+2z \\[4pt] y & w\end{pmatrix}.
As bases fornecidas são:
  • \beta=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} (base canônica de \mathbb{R}^4);
  • \alpha=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}\right\} (base canônica de \mathbb{M}_2(\mathbb{R})).
O que se pede: determinar a matriz [T]_{\alpha}^{\beta}, ou seja, a matriz de T cuja j-ésima coluna são as coordenadas de T aplicado ao j-ésimo vetor de \beta expressas na base \alpha.]

Passo 2

Estratégia passo a passo (bem mastigada):
  1. Aplicar T a cada vetor da base \beta (ou seja, aos vetores canônicos e_1,e_2,e_3,e_4).
  2. Para cada imagem T(e_j), escrever a matriz 2\times2 obtida como combinação linear dos vetores da base \alpha. Como \alpha está ordenada como \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}, uma matriz \begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix} corresponde ao vetor de coordenadas \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\\\ d\end{pmatrix}.
  3. Colocar essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores de \beta, formando a matriz 4\times4 procurada.]

Passo 3

Calcular T nos vetores da base \beta.
Para e_1=(1,0,0,0):
T(1,0,0,0)=\begin{pmatrix}1-3\cdot0 & -1+2\cdot0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Para e_2=(0,1,0,0):
T(0,1,0,0)=\begin{pmatrix}0-3\cdot1 & -0+2\cdot0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Para e_3=(0,0,1,0):
T(0,0,1,0)=\begin{pmatrix}0-3\cdot0 & -0+2\cdot1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Para e_4=(0,0,0,1):
T(0,0,0,1)=\begin{pmatrix}0-0 & -0+0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Expressões dessas matrizes nas coordenadas da base \alpha (lembrando que a ordem é (a,b,c,d) para \begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}):
  • Para T(e_1)=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} as coordenadas são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para T(e_2)=\begin{pmatrix}-3 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} as coordenadas são
\begin{pmatrix}-3\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para T(e_3)=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} as coordenadas são
\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para T(e_4)=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} as coordenadas são
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a matriz [T]_{\alpha}^{\beta} colocando essas quatro colunas na ordem e_1,e_2,e_3,e_4:
[T]_{\alpha}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{\alpha}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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