Verificar quais operadores lineares T a seguir são inversíveis e, para aqueles que forem, encontrar uma fórmula para T^{-1}.
(d) T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x+z, x-z, y).
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(x+z,\;x-z,\;y).
O que se pede:
Verificar se T é inversível (ou seja, se existe um operador linear T^{-1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} tal que T^{-1}\circ T=\mathrm{Id} e T\circ T^{-1}=\mathrm{Id}).
Se for inversível, encontrar uma fórmula explícita para T^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
A regra de T aplicada a um vetor genérico (x,y,z) está dada acima.
Não há outras informações externas; trabalhar com a base padrão de \mathbb{R}^3 será natural.
Passo 2
Primeira observação didática: para um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 representado por uma matriz A na base padrão, temos que T é inversível se, e somente se, \det(A)\neq0. Outra forma prática é tentar resolver, para um vetor dado (u,v,w), o sistema T(x,y,z)=(u,v,w): se para todo (u,v,w) existe única solução (x,y,z), então T é inversível e essa solução dá T^{-1}(u,v,w).
Vou usar ambos os pontos de vista: montar a matriz de T na base padrão e também resolver diretamente as equações para encontrar T^{-1}.
Passo 3
Montar a matriz de T na base padrão \{e_1,e_2,e_3\} (colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3)).
Como \det(A)=2\neq0, concluímos que A é invertível e, portanto, T é inversível.
Comentário didático curto: determinante não nulo significa que as colunas de A são linearmente independentes, o que garante injetividade e, num espaço de dimensão finita igual, também surjetividade — logo existe a inversa linear.]
Passo 5
Agora encontrar explicitamente T^{-1}\). Em vez de calcular adjunta e cofatores, é mais direto resolver o sistema
\[T(x,y,z)=(u,v,w),
ou seja
\begin{cases} u = x+z,\\[4pt] v = x-z,\\[4pt] w = y. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema para (x,y,z)\] em função de \((u,v,w).
Verificação rápida (didática): multiplicando A^{-1}A obtém-se a identidade I_3 (pode-se checar termo a termo), o que confirma que essa é a inversa correta.]