Verificar quais operadores lineares T a seguir são inversíveis e, para aqueles que forem, encontrar uma fórmula para T^{-1}.
(d) T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x+z, x-z, y).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(x+z,\;x-z,\;y).
O que se pede:
  • Verificar se T é inversível (ou seja, se existe um operador linear T^{-1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} tal que T^{-1}\circ T=\mathrm{Id} e T\circ T^{-1}=\mathrm{Id}).
  • Se for inversível, encontrar uma fórmula explícita para T^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de T aplicada a um vetor genérico (x,y,z) está dada acima.
  • Não há outras informações externas; trabalhar com a base padrão de \mathbb{R}^3 será natural.

Passo 2

Primeira observação didática: para um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 representado por uma matriz A na base padrão, temos que T é inversível se, e somente se, \det(A)\neq0. Outra forma prática é tentar resolver, para um vetor dado (u,v,w), o sistema T(x,y,z)=(u,v,w): se para todo (u,v,w) existe única solução (x,y,z), então T é inversível e essa solução dá T^{-1}(u,v,w).
Vou usar ambos os pontos de vista: montar a matriz de T na base padrão e também resolver diretamente as equações para encontrar T^{-1}.

Passo 3

Montar a matriz de T na base padrão \{e_1,e_2,e_3\} (colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3)).
Calcular imagens das bases:
  • T(e_1)=T(1,0,0)=(1+0,\;1-0,\;0)=(1,1,0).
  • T(e_2)=T(0,1,0)=(0+0,\;0-0,\;1)=(0,0,1).
  • T(e_3)=T(0,0,1)=(0+1,\;0-1,\;0)=(1,-1,0).
Logo a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é T(e_1), a segunda é T(e_2) e a terceira é T(e_3).]

Passo 4

Calcular o determinante de A para verificar invertibilidade.
Usando desenvolvimento pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calcular os menores:
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-(-1)\cdot1=1, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1.
Portanto
\det(A)=1\cdot1+1\cdot1=2.
Como \det(A)=2\neq0, concluímos que A é invertível e, portanto, T é inversível.
Comentário didático curto: determinante não nulo significa que as colunas de A são linearmente independentes, o que garante injetividade e, num espaço de dimensão finita igual, também surjetividade — logo existe a inversa linear.]

Passo 5

Agora encontrar explicitamente T^{-1}\). Em vez de calcular adjunta e cofatores, é mais direto resolver o sistema \[T(x,y,z)=(u,v,w),
ou seja
\begin{cases} u = x+z,\\[4pt] v = x-z,\\[4pt] w = y. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema para (x,y,z)\] em função de \((u,v,w).
Da terceira equação já vem diretamente
y=w.
Somando as duas primeiras equações:
u+v=(x+z)+(x-z)=2x \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{u+v}{2}.
Subtraindo a segunda da primeira (ou fazendo u-v):
u-v=(x+z)-(x-z)=2z \quad\Rightarrow\quad z=\dfrac{u-v}{2}.
Portanto, para um vetor (u,v,w)\in\mathbb{R}^3 a única solução é
x=\dfrac{u+v}{2},\qquad y=w,\qquad z=\dfrac{u-v}{2}.
Essa fórmula dá T^{-1}(u,v,w).]

Passo 6

Expressar T^{-1} como operador e como matriz.
Como operador:
T^{-1}(u,v,w)=\left(\dfrac{u+v}{2},\;w,\;\dfrac{u-v}{2}\right).
Matriz de T^{-1} na base padrão (linhas correspondem às expressões de x,y,z em função de u,v,w):
A^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (didática): multiplicando A^{-1}A obtém-se a identidade I_3 (pode-se checar termo a termo), o que confirma que essa é a inversa correta.]

Resposta

T é inversível e
T^{-1}(u,v,w)=\left(\dfrac{u+v}{2},\;w,\;\dfrac{u-v}{2}\right).

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