Considere os espaços vetoriais mathbb{R}^{4} e mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais. Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) a transformação linear definida por
T(x, y, z, w)=\left[\begin{array}{cc} x-3 y & -x+2 z \\\ y & w \end{array}\right] .
Sejam \beta=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} a base canônica de \mathbb{R}^{4} e \alpha=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],
\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],
\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],
\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\} a base canônica de M_{2}(\mathbb{R}).
Calcule \operatorname{det}\left([T]_{\alpha}^{\beta}\right). Podemos concluir que T é um isomorfismo?. Justifique sua resposta.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
O enunciado pede dois resultados:
Calcular \det\!\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big).
Dizer se T é um isomorfismo e justificar.
Informações dadas:
A transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) éT(x,y,z,w)=\begin{bmatrix}x-3y & -x+2z\\[4pt] y & w\end{bmatrix}.
A base canônica de \mathbb{R}^{4} é \beta=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.
A base canônica de \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) é\alpha=\left\{\begin{bmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{bmatrix}\right\}.
A resolução começa agora.]
Passo 2
Como obter a matriz [T]_{\alpha}^{\beta}: aplicar T a cada vetor da base \beta e escrever o resultado em coordenadas na base \alpha.
Explicação didática: cada elemento de \alpha corresponde a uma matriz com um único 1 em uma posição. Escrever um elemento de \mathbb{M}_2(\mathbb{R}) nas coordenadas de \alpha é simplesmente listar as entradas na ordem \big(e_{11},e_{12},e_{21},e_{22}\big).
onde a coluna 1 é T(1,0,0,0), a coluna 2 é T(0,1,0,0), etc.]
Passo 4
Calcular o determinante de [T]_{\alpha}^{\beta}.
Dica prática: observar a estrutura da matriz. A última coluna tem apenas um 1 na última linha e zeros em cima, e a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1]. Isso significa que a matriz é em bloco do tipo
\begin{pmatrix}A & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
onde A é a submatriz 3\times3 formada pelas três primeiras linhas e colunas. O determinante de uma matriz em bloco triangular assim é o produto dos determinantes das blocos diagonais. Portanto
Explicação didática curta: para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, ser isomorfismo é equivalente a ser invertível, o que se verifica pela matriz associada ser invertível. Uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero.
Aqui \det\!\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big)=-2\neq 0. Logo a matriz é invertível e, portanto, T é invertível linearmente; isto é, T é um isomorfismo (bijetiva e linear).
Força final: você tem uma transformação entre espaços de dimensão 4 que é bijetora — pode usar isso na prova como argumento curto: determinante não nulo → inversa existe → isomorfismo.
Resposta
\det\!\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big)=-2
Sim. T é um isomorfismo, pois \det\!\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big)\neq0, logo a matriz associada é invertível e T é bijetiva (invertível linear).