Considere os espaços vetoriais mathbb{R}^{4} e mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais. Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) a transformação linear definida por
T(x, y, z, w)=\left[\begin{array}{cc} x-3 y & -x+2 z \\\ y & w \end{array}\right] .
Sejam \beta=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} a base canônica de \mathbb{R}^{4} e \alpha=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\} a base canônica de M_{2}(\mathbb{R}).
Calcule \operatorname{det}\left([T]_{\alpha}^{\beta}\right). Podemos concluir que T é um isomorfismo?. Justifique sua resposta.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • O enunciado pede dois resultados:
    1. Calcular \det\!\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big).
    2. Dizer se T é um isomorfismo e justificar.
  • Informações dadas:
    • A transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) é T(x,y,z,w)=\begin{bmatrix}x-3y & -x+2z\\[4pt] y & w\end{bmatrix}.
    • A base canônica de \mathbb{R}^{4} é \beta=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.
    • A base canônica de \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) é \alpha=\left\{\begin{bmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{bmatrix}\right\}.
A resolução começa agora.]

Passo 2

Como obter a matriz [T]_{\alpha}^{\beta}: aplicar T a cada vetor da base \beta e escrever o resultado em coordenadas na base \alpha.
Explicação didática: cada elemento de \alpha corresponde a uma matriz com um único 1 em uma posição. Escrever um elemento de \mathbb{M}_2(\mathbb{R}) nas coordenadas de \alpha é simplesmente listar as entradas na ordem \big(e_{11},e_{12},e_{21},e_{22}\big).
Calculemos T nas quatro bases de \beta:
  • Para (1,0,0,0):
    T(1,0,0,0)=\begin{bmatrix}1-3\cdot0 & -1+2\cdot0\\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & -1\\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix}.
    Em coordenadas na base \alpha (ordem e_{11},e_{12},e_{21},e_{22}) isto vira o vetor coluna
    \begin{bmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}.
  • Para (0,1,0,0):
    T(0,1,0,0)=\begin{bmatrix}0-3\cdot1 & -0+2\cdot0\\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-3 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix},
    que em coordenadas na \alpha é
    \begin{bmatrix}-3\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix}.
  • Para (0,0,1,0):
    T(0,0,1,0)=\begin{bmatrix}0-3\cdot0 & -0+2\cdot1\\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & 2\\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix},
    que em \alpha é
    \begin{bmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}.
  • Para (0,0,0,1):
    T(0,0,0,1)=\begin{bmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix},
    que em \alpha é
    \begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}.]

Passo 3

Montar a matriz [T]_{\alpha}^{\beta}: colocar as coordenadas obtidas como colunas, na ordem dos vetores de \beta.
Assim
[T]_{\alpha}^{\beta}= \begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},
onde a coluna 1 é T(1,0,0,0), a coluna 2 é T(0,1,0,0), etc.]

Passo 4

Calcular o determinante de [T]_{\alpha}^{\beta}.
Dica prática: observar a estrutura da matriz. A última coluna tem apenas um 1 na última linha e zeros em cima, e a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1]. Isso significa que a matriz é em bloco do tipo
\begin{pmatrix}A & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
onde A é a submatriz 3\times3 formada pelas três primeiras linhas e colunas. O determinante de uma matriz em bloco triangular assim é o produto dos determinantes das blocos diagonais. Portanto
\det\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big)=\det(A)\cdot 1=\det(A).
Escrevendo A:
A=\begin{bmatrix} 1 & -3 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.
Calculemos \det(A) por expansão na primeira linha (ou por regra de Sarrus adaptada ao 3\times3).
Expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{bmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{bmatrix}-1 & 2\\[4pt]0 & 0\end{bmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calcule cada menor:
\det\begin{bmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix}=0\cdot0-2\cdot1=-2,
\det\begin{bmatrix}-1 & 2\\[4pt]0 & 0\end{bmatrix}=-1\cdot0-2\cdot0=0.
Logo
\det(A)=1\cdot(-2)-(-3)\cdot 0 = -2.
Portanto
\det\!\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big)=-2.]

Passo 5

Concluir se T é isomorfismo.
Explicação didática curta: para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, ser isomorfismo é equivalente a ser invertível, o que se verifica pela matriz associada ser invertível. Uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero.
Aqui \det\!\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big)=-2\neq 0. Logo a matriz é invertível e, portanto, T é invertível linearmente; isto é, T é um isomorfismo (bijetiva e linear).
Força final: você tem uma transformação entre espaços de dimensão 4 que é bijetora — pode usar isso na prova como argumento curto: determinante não nulo → inversa existe → isomorfismo.

Resposta

\det\!\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big)=-2
Sim. T é um isomorfismo, pois \det\!\big([T]_{\alpha}^{\beta}\big)\neq0, logo a matriz associada é invertível e T é bijetiva (invertível linear).

Exercícios relacionados