Verificar quais operadores lineares T a seguir são inversíveis e, para aqueles que forem, encontrar uma fórmula para T^{-1}.
(c) T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-y+2 z, y-z,-2 x+y-3 z).
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(x-y+2z,\;y-z,\;-2x+y-3z).
A tarefa é:
verificar se T é inversível;
e, se for inversível, encontrar uma fórmula para T^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
A regra de T em coordenadas canônicas é exatamente a fórmula acima;
Estamos trabalhando em \mathbb{R}^{3} com a base padrão (vetores canônicos).
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever T como uma matriz A em relação à base canônica. Cada coluna de A é T aplicado a um vetor canônico:
onde interpretamos A de modo que T(\,x,y,z\,)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Explicação curta: cada entrada a_{ij} da matriz é a coordenada i-ésima de T aplicado ao j-ésimo vetor da base padrão.]
Passo 3
Critério de invertibilidade (aula curta):
Um operador linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n é inversível se, e somente se, a matriz A de T (na mesma base em domínio e contradomínio) for invertível.
Uma forma prática de testar invertibilidade é calcular o determinante: A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0.
Intuição do determinante: \det(A) mede se as colunas de A são linearmente independentes e quanto o mapeamento “altera volumes”. Se \det(A)=0, as colunas são linearmente dependentes e A comprime \mathbb{R}^3 numa subvariedade de dimensão menor (logo não é bijetivo).
Vou calcular \det(A) passo a passo.
Passo 4
Cálculo do determinante por expansão na primeira linha (fórmula de Laplace simples para uma linha):
Observação alternativa (checagem rápida): aplicando operação nas linhas nota-se dependência linear: somando 2 vezes a primeira linha à terceira linha obtém-se uma linha igual a -1 vez a segunda linha, o que confirma dependência e determinante zero.]
Passo 5
Conclusão do critério: como \det(A)=0, a matriz A não é invertível. Portanto o operador linear T não é inversível.
Explicação conceitual: \det(A)=0 implica que A (e então T) não é injetora (há vetores não nulos que vão para o vetor zero). Logo não é bijetora e não tem inversa linear definida em todo \mathbb{R}^{3}.
Passo 6
Para ficar bem didático, vamos encontrar explicitamente o núcleo (\ker T\)), isto é, todos os vetores \((x,y,z)\) tais que \(T(x,y,z)=(0,0,0)\). Escrever o sistema linear:
\[\begin{cases} x - y + 2z = 0,\\[4pt] y - z = 0,\\[4pt] -2x + y - 3z = 0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
Da segunda equação temos \;y-z=0\;\Rightarrow\;y=z\].
- Substituindo em primeira equação: \(x - z + 2z = x+z =0, então \;x=-z.
- Verificar a terceira equação: substituindo x=-z e y=z,
-2(-z) + z - 3z = 2z + z - 3z = 0,
que é satisfeita automaticamente (não impõe nova restrição).
Portanto todas as soluções são da forma
(x,y,z)=(-z,z,z)=z(-1,1,1),
com z\in\mathbb{R}. Assim \ker T=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\}, um subespaço unidimensional não-trivial.
Interpretação: existe um vetor não nulo que é enviado ao zero, logo T não é injetora e não tem inversa.]
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido: concluímos que T não é inversível porque a matriz associada tem determinante zero e há núcleo não-trivial gerado por (-1,1,1). Isso significa que em prova basta mostrar \det(A)=0 ou exibir um vetor não-nulo no núcleo para concluir não invertibilidade — duas maneiras equivalentes. Força aí, mostrar a dependência linear e a solução do núcleo é uma forma bem direta de justificar que não existe T^{-1}.