Questão 1. (2 pontos) Calcule o ponto de \frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{8}=1 no primeiro quadrante, cuja reta tangente está inclinada de -15^{\circ}.
(1 ponto) Calcule a distância do ponto a cada um dos focos (com quatro casas decimais, não pode utilizar os focos).
Passo 1
O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{8}=1
e pede dois itens:
Encontrar o ponto no primeiro quadrante cuja reta tangente à elipse tem inclinação -15^\circ (ou seja, pente \tan(-15^\circ)).
Calcular a distância desse ponto a cada um dos focos, com quatro casas decimais (o enunciado diz que não se devem usar os focos para localizar o ponto; isto significa que o ponto deve ser obtido pela tangente, e em seguida usa-se a posição dos focos para calcular as distâncias).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A elipse está centrada na origem e tem semi-eixos \sqrt{27} (no eixo x) e \sqrt{8} (no eixo y).
A inclinação da tangente pedida é -15^\circ. O coeficiente angular (slope) correspondente é
\tan(-15^\circ)=-\tan(15^\circ).
Fórmula útil (derivação implícita) para a derivada de uma curva dada por F(x,y)=0:
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},
onde F_x e F_y são as derivadas parciais de F.
Passo 2
Vamos obter a derivada \dfrac{dy}{dx} da elipse por diferenciação implícita, e igualar ao slope pedido.
A elipse pode ser escrita como
F(x,y)=\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{8}-1=0.
Derivando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x):
Portanto o ponto no primeiro quadrante é aproximadamente (2,2949,\;2,5376).
(As fórmulas exatas acima valem; os números são arredondamentos úteis para a prova.)
Passo 5
Agora calcular as distâncias do ponto aos focos. Para a elipse com semi-eixos a=\sqrt{27} (no eixo x) e b=\sqrt{8} (no eixo y), a distância focal é
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{27-8}=\sqrt{19}.
Os focos são (\pm c,0) com c=\sqrt{19}\approx 4,358898943.
Se o ponto é (x,y) no primeiro quadrante, as distâncias aos focos são
Uma verificação rápida: a soma deve ser d_{\text{direito}}+d_{\text{esquerdo}}=2a=2\sqrt{27}\approx 10,3923. De fato 3,2716+7,1207\approx 10,3923, compatível (pequenas diferenças são apenas do arredondamento).