Questão 1. (2 pontos) Calcule o ponto de \frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{8}=1 no primeiro quadrante, cuja reta tangente está inclinada de -15^{\circ}.
(1 ponto) Calcule a distância do ponto a cada um dos focos (com quatro casas decimais, não pode utilizar os focos).

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{8}=1
e pede dois itens:
  • Encontrar o ponto no primeiro quadrante cuja reta tangente à elipse tem inclinação -15^\circ (ou seja, pente \tan(-15^\circ)).
  • Calcular a distância desse ponto a cada um dos focos, com quatro casas decimais (o enunciado diz que não se devem usar os focos para localizar o ponto; isto significa que o ponto deve ser obtido pela tangente, e em seguida usa-se a posição dos focos para calcular as distâncias).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A elipse está centrada na origem e tem semi-eixos \sqrt{27} (no eixo x) e \sqrt{8} (no eixo y).
  • A inclinação da tangente pedida é -15^\circ. O coeficiente angular (slope) correspondente é
\tan(-15^\circ)=-\tan(15^\circ).
  • Fórmula útil (derivação implícita) para a derivada de uma curva dada por F(x,y)=0:
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},
onde F_x e F_y são as derivadas parciais de F.

Passo 2

Vamos obter a derivada \dfrac{dy}{dx} da elipse por diferenciação implícita, e igualar ao slope pedido.
A elipse pode ser escrita como
F(x,y)=\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{8}-1=0.
Derivando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x):
\frac{2x}{27}+\frac{2y}{8}\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=-\frac{\dfrac{2x}{27}}{\dfrac{2y}{8}}=-\frac{8x}{27y}.
Portanto o coeficiente angular da tangente em (x,y) é
m=\frac{dy}{dx}=-\frac{8x}{27y}.

Passo 3

Relacionar esse m com -15^\circ. Como m=\tan(\theta) para a reta inclinada de \theta, para \theta=-15^\circ temos
m=\tan(-15^\circ)=-\tan(15^\circ).
Assim, impondo igualdade:
-\frac{8x}{27y}=-\tan(15^\circ)\quad\Longrightarrow\quad \frac{8x}{27y}=\tan(15^\circ).
Logo
\frac{x}{y}=\frac{27}{8}\tan(15^\circ).
Agora usamos uma forma exata para \tan(15^\circ). É conhecida a identidade
\tan(15^\circ)=\tan(45^\circ-30^\circ)=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=2-\sqrt{3}.
Portanto T:=\tan(15^\circ)=2-\sqrt{3} (número positivo).
Substituindo,
\frac{x}{y}=\frac{27}{8}T.
Para simplificar a resolução, escrevemos y em função de x:
y=\frac{8}{27T}\,x.

Passo 4

Substituir y=\dfrac{8}{27T}x na equação da elipse para determinar x (e daí y).
A elipse:
\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{8}=1.
Substituindo y=kx com k=\dfrac{8}{27T}:
\frac{x^{2}}{27}+\frac{(kx)^{2}}{8}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\!\left(\frac{1}{27}+\frac{k^{2}}{8}\right)=1.
Logo
x^{2}=\frac{1}{\dfrac{1}{27}+\dfrac{k^{2}}{8}}.
Agora faça as contas simbólicas para obter uma forma limpa. Substituindo k=\dfrac{8}{27T} k^{2}=\dfrac{64}{729T^{2}}. Então
\frac{1}{27}+\frac{k^{2}}{8}=\frac{1}{27}+\frac{8}{729T^{2}}=\frac{27+\dfrac{8}{T^{2}}}{729}.
Invertendo,
x^{2}=\frac{729}{27+\dfrac{8}{T^{2}}}=\frac{729T^{2}}{27T^{2}+8}.
Tomando raiz positiva (primeiro quadrante):
x=\frac{27T}{\sqrt{27T^{2}+8}}.
E daí
y=kx=\frac{8}{27T}\,x=\frac{8}{\sqrt{27T^{2}+8}}.
Lembrando T=2-\sqrt{3}, escrevemos o ponto em forma exata:
\boxed{\left(\dfrac{27(2-\sqrt{3})}{\sqrt{27(2-\sqrt{3})^{2}+8}}\;,\;\dfrac{8}{\sqrt{27(2-\sqrt{3})^{2}+8}}\right).}
Para uso prático (e para calcular as distâncias pedidas), convém uma aproximação decimal do ponto (usar vírgula como separador):
  • Calcule T=2-\sqrt{3}\approx 0,2679491924.
  • Calcule D=\sqrt{27T^{2}+8}\approx 3,1525407.
    Assim:
x\approx \frac{27\cdot 0,2679491924}{3,1525407}\approx 2,2949, \qquad y\approx \frac{8}{3,1525407}\approx 2,5376.
Portanto o ponto no primeiro quadrante é aproximadamente (2,2949,\;2,5376).
(As fórmulas exatas acima valem; os números são arredondamentos úteis para a prova.)

Passo 5

Agora calcular as distâncias do ponto aos focos. Para a elipse com semi-eixos a=\sqrt{27} (no eixo x) e b=\sqrt{8} (no eixo y), a distância focal é
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{27-8}=\sqrt{19}.
Os focos são (\pm c,0) com c=\sqrt{19}\approx 4,358898943.
Se o ponto é (x,y) no primeiro quadrante, as distâncias aos focos são
d_{\text{direito}}=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}},\qquad d_{\text{esquerdo}}=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.
Usando as aproximações x\approx 2,2949, y\approx 2,5376 e c\approx 4,358898943 obtemos numericamente (arredondando final para quatro casas decimais):
d_{\text{direito}}\approx 3,2716,\qquad d_{\text{esquerdo}}\approx 7,1207.
Uma verificação rápida: a soma deve ser d_{\text{direito}}+d_{\text{esquerdo}}=2a=2\sqrt{27}\approx 10,3923. De fato 3,2716+7,1207\approx 10,3923, compatível (pequenas diferenças são apenas do arredondamento).

Resposta

\displaystyle\left(\dfrac{27(2-\sqrt{3})}{\sqrt{27(2-\sqrt{3})^{2}+8}},\;\dfrac{8}{\sqrt{27(2-\sqrt{3})^{2}+8}}\right)\approx(2,2949,\;2,5376)\n
d_{\text{foco direito}}\approx 3,2716\n
d_{\text{foco esquerdo}}\approx 7,1207

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