Considere a especificação de um fabricante de que as medições do instrumento estão sempre dentro da faixa de \pm 1 \% da leitura. Além disso, qualquer valor do erro dentro desses limites é igualmente provável. Determine a incerteza padrão do instrumento.

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes:
  • As medições do instrumento estão sempre dentro da faixa de \pm 1\% da leitura.
  • Qualquer valor do erro dentro desses limites é igualmente provável (distribuição uniforme).
O que se pede: determinar a incerteza padrão do instrumento (ou seja, o desvio padrão da distribuição do erro).

Passo 2

Vamos modelar o erro de medição por uma variável aleatória E. Se a leitura (valor medido) for \text{leitura}, então o fabricante diz que
E\in[-0,01\cdot\text{leitura},\;0,01\cdot\text{leitura}]
e que E é uniformemente distribuída nesse intervalo. Isto significa que a densidade de probabilidade de E é constante dentro do intervalo e zero fora.

Passo 3

Para uma distribuição uniforme simétrica em torno de zero (intervalo [-A,A] com A=0,01\cdot\text{leitura}), a esperança (valor esperado) é zero por simetria:
\mathbb{E}[E]=0.

Passo 4

A variância de E pode ser obtida calculando \mathbb{E}[E^{2}]. Para E uniforme em [-A,A] (densidade f_E(e)=\dfrac{1}{2A} para -A\le e\le A) temos
\mathbb{E}[E^{2}] = \frac{1}{2A}\int_{-A}^{A} e^{2}\,de = \frac{1}{2A}\cdot\frac{2A^{3}}{3} = \frac{A^{2}}{3}.
Como \mathbb{E}[E]=0, a variância é \operatorname{Var}(E)=\dfrac{A^{2}}{3} e o desvio padrão (incerteza padrão) é
\sigma_E=\frac{A}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Substituindo A=0,01\cdot\text{leitura} obtemos a incerteza padrão do instrumento:
u=\frac{0,01\cdot\text{leitura}}{\sqrt{3}}.
Como incerteza relativa (fração da leitura):
u_{\text{relativa}}=\frac{u}{\text{leitura}}=\frac{0,01}{\sqrt{3}}\approx0,00577\quad(\text{i.e. }0,577\%).

Resposta

\displaystyle u=\frac{0,01\cdot\text{leitura}}{\sqrt{3}}

Exercícios relacionados