Considere um espelho côncavo de aumento, com distância focal
, usado para uma pessoa fazer a barba. Calcule a distância do rosto ao espelho para que a imagem dele esteja ampliada 2 vezes.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a distância do rosto ao espelho (ou seja, a distância do objeto até o espelho) para que a imagem do rosto fique ampliada 2 vezes.
Informações dadas:
- A distância focal do espelho côncavo é
. - A imagem deve estar ampliada 2 vezes (ou seja, a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto é
).
O que queremos encontrar: a distância do objeto ao espelho, que vou chamar de
(às vezes também notada como
).
Passo 2
Vamos apresentar as fórmulas que usamos e explicar cada símbolo, devagarzinho.
- Equação dos espelhos (relação entre foco, objeto e imagem):
onde:
-
é a distância focal (positiva para espelho côncavo), -
é a distância do objeto ao espelho (positiva se o objeto estiver na frente do espelho, que é o caso aqui), -
é a distância da imagem ao espelho (positiva se a imagem for real e estiver na frente do espelho; negativa se a imagem for virtual e estiver “atrás” do espelho, do ponto de vista da convenção de sinais).
- Fórmula do aumento linear (razão entre alturas) para espelhos esféricos:
onde:
-
é o aumento (positivo quando a imagem está direita em relação ao objeto, negativo quando invertida), -
é a altura da imagem, -
é a altura do objeto, - o sinal negativo aparece porque imagens reais produzidas por espelhos são invertidas (quando
e resulta ).
Interpretação importante (sinais e tipo de imagem):
- Para um espelho côncavo usado como espelho de aumento (como espelho para fazer a barba) a imagem que queremos é praticamente sempre virtual, direita (não invertida) e maior que o objeto. Isso implica
e, pela fórmula , implica que é negativo (imagem virtual) e é positivo (objeto real). Tudo coerente.
Passo 3
Determinar o valor numérico do aumento e a relação entre
e
.
A imagem deve estar ampliada 2 vezes, isto é:
Usando
temos:
Isolando
:
Isso confirma o que dissemos:
é negativo (imagem virtual), estando a uma distância
“atrás” do espelho.
Passo 4
Substituir
em termos de
na equação dos espelhos e resolver para
.
A equação dos espelhos é
Substituindo
:
Calculemos o lado direito passo a passo:
Logo
Passo 5
Isolar
e substituir o valor de
.
Da igualdade
segue:
Agora plugamos
:
Passo 6
Interpretação física e checagem rápida (para você entender e decorar o raciocínio na hora da prova):
- O resultado
significa que o rosto deve ficar a meio metro do espelho. - Podemos calcular também
para conferir: . O sinal negativo indica imagem virtual, localizada “atrás” do espelho a da superfície — coerente com uma imagem direita e ampliada de fator . - Regra de bolso para a prova: para um espelho côncavo, se você quer uma imagem virtual e ampliada com fator
, o objeto fica entre o espelho e o foco ( ); aqui deu , que está entre o espelho e o foco ( ), tudo consistente.