Considere um espelho côncavo de aumento, com distância focal \mathrm{f}=1,0 \mathrm{~m}, usado para uma pessoa fazer a barba. Calcule a distância do rosto ao espelho para que a imagem dele esteja ampliada 2 vezes.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a distância do rosto ao espelho (ou seja, a distância do objeto até o espelho) para que a imagem do rosto fique ampliada 2 vezes.
Informações dadas:
  • A distância focal do espelho côncavo é \mathrm{f}=1,0\\ \mathrm{m}.
  • A imagem deve estar ampliada 2 vezes (ou seja, a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto é 2).
O que queremos encontrar: a distância do objeto ao espelho, que vou chamar de p (às vezes também notada como s_o).

Passo 2

Vamos apresentar as fórmulas que usamos e explicar cada símbolo, devagarzinho.
  1. Equação dos espelhos (relação entre foco, objeto e imagem):
\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q},
onde:
  • \,f é a distância focal (positiva para espelho côncavo),
  • \,p é a distância do objeto ao espelho (positiva se o objeto estiver na frente do espelho, que é o caso aqui),
  • \,q é a distância da imagem ao espelho (positiva se a imagem for real e estiver na frente do espelho; negativa se a imagem for virtual e estiver “atrás” do espelho, do ponto de vista da convenção de sinais).
  1. Fórmula do aumento linear (razão entre alturas) para espelhos esféricos:
m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{q}{p},
onde:
  • \,m é o aumento (positivo quando a imagem está direita em relação ao objeto, negativo quando invertida),
  • \,h_i é a altura da imagem,
  • \,h_o é a altura do objeto,
  • o sinal negativo aparece porque imagens reais produzidas por espelhos são invertidas (quando q>0 e p>0 resulta m<0).
Interpretação importante (sinais e tipo de imagem):
  • Para um espelho côncavo usado como espelho de aumento (como espelho para fazer a barba) a imagem que queremos é praticamente sempre virtual, direita (não invertida) e maior que o objeto. Isso implica m>0 e, pela fórmula m=-q/p, implica que q é negativo (imagem virtual) e p é positivo (objeto real). Tudo coerente.

Passo 3

Determinar o valor numérico do aumento e a relação entre q e p.
A imagem deve estar ampliada 2 vezes, isto é:
m = 2.
Usando m = -\dfrac{q}{p} temos:
2 = -\frac{q}{p}.
Isolando q:
q = -2p.
Isso confirma o que dissemos: q é negativo (imagem virtual), estando a uma distância |q|=2p “atrás” do espelho.

Passo 4

Substituir q em termos de p na equação dos espelhos e resolver para p.
A equação dos espelhos é
\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}.
Substituindo q = -2p:
\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{-2p}.
Calculemos o lado direito passo a passo:
\frac{1}{p} + \frac{1}{-2p} = \frac{1}{p} - \frac{1}{2p} = \left(1 - \tfrac{1}{2}\right)\frac{1}{p} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{p} = \frac{1}{2p}.
Logo
\frac{1}{f} = \frac{1}{2p}.

Passo 5

Isolar p e substituir o valor de \,f.
Da igualdade \dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{2p} segue:
2p = f \quad\Rightarrow\quad p = \frac{f}{2}.
Agora plugamos \,f=1,0\\ \mathrm{m}:
p = \frac{1,0\\ \mathrm{m}}{2} = 0,50\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação física e checagem rápida (para você entender e decorar o raciocínio na hora da prova):
  • O resultado p=0,50\\ \mathrm{m} significa que o rosto deve ficar a meio metro do espelho.
  • Podemos calcular também q para conferir: q=-2p=-1,0\\ \mathrm{m}. O sinal negativo indica imagem virtual, localizada “atrás” do espelho a 1,0\\ \mathrm{m} da superfície — coerente com uma imagem direita e ampliada de fator +2.
  • Regra de bolso para a prova: para um espelho côncavo, se você quer uma imagem virtual e ampliada com fator m>1, o objeto fica entre o espelho e o foco ( p<f); aqui deu p=f/2, que está entre o espelho e o foco ( f=1,0\\ \mathrm{m}), tudo consistente.

Resposta

p=0,50\\ \mathrm{m}

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