Diante de uma grande bola de Natal que tem a superficie externa espelhada, um observador dispõe um lápis, que é aproximado e afastado da superfície refletora. A respeito da imagem que a bola conjuga ao lápis, podemos afirmar que:
a) é virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do lápis.
b) pode ser real ou virtual, dependendo da posição do lápis.
c) é real, invertida e aumentada, qualquer que seja a posição do lápis.
d) é simétrica do lápis em relação à superfície refletora.
e) nenhuma proposição anterior é correta.
a) é virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do lápis.
b) pode ser real ou virtual, dependendo da posição do lápis.
c) é real, invertida e aumentada, qualquer que seja a posição do lápis.
d) é simétrica do lápis em relação à superfície refletora.
e) nenhuma proposição anterior é correta.
Passo 1
O enunciado descreve uma grande bola de Natal cuja superfície externa é espelhada. Um observador aproxima e afasta um lápis dessa superfície refletora. A pergunta é: qual das alternativas descreve corretamente a imagem que a bola forma do lápis?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A superfície refletora é a face externa da esfera (isto é, o espelho está na parte convexa da superfície).
- O objeto é um lápis colocado em frente ao espelho, cuja posição pode variar (aproximação e afastamento).
- Precisa-se caracterizar a imagem: se é real ou virtual, direita ou invertida, e se é aumentada, reduzida ou igual.
Passo 2
Entender a geometria básica: a superfície espelhada é a parte externa de uma esfera. O centro da esfera chamamos de centro de curvatura
e o raio da esfera é
. Para um espelho esférico cuja face refletora é a externa da esfera, dizemos que o espelho é convexo (a superfície refletora “sai para fora”). Uma propriedade geométrica importante é que o foco do espelho esférico está no meio do caminho entre a superfície e o centro de curvatura; para espelho esférico ideal vale
onde
é a distância focal em módulo. No caso de um espelho convexo, pela convenção de sinais, a distância focal é negativa, então usaremos
Explico:
é a distância do vértice do espelho até o centro da esfera
. O foco
está a metade dessa distância. No espelho convexo o foco fica “do outro lado” do espelho (atrás da superfície), por isto
é negativo.
Passo 3
Como o espelho é convexo, a imagem de qualquer objeto real colocado em frente ao espelho é formada atrás do espelho (ou seja, no lado oposto ao objeto) — portanto a imagem é virtual. Vou explicar isso com a equação dos espelhos e com o raciocínio dos raios.
Equação dos espelhos esféricos:
onde:
-
é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto está à frente do espelho); -
é a distância da imagem ao vértice do espelho (positiva se a imagem estiver no mesmo lado do objeto — real —, negativa se estiver atrás do espelho — virtual); -
é a distância focal (negativa para espelho convexo).
Para nosso caso
e
. Vou manipular a equação para descobrir o sinal de
.
Passo 4
Isolando
na equação:
Logo
Como
e
, o numerador
é negativo. O denominador
é positivo porque
. Portanto
é negativo. Conclusão: a imagem está atrás do espelho (sinal negativo em
), logo é virtual.
Passo 5
Agora vamos ver se a imagem é direita ou invertida e se é aumentada ou reduzida. A magnificação linear
é dada por
Substituindo nossa expressão para
em termos de
e
:
Lembrando
, escrevemos
. Então
Deste último passo vemos que
(positivo significa imagem direita em relação ao objeto) e que
porque
, então a fração é menor que
. Portanto a imagem é direita (não invertida) e reduzida (menor que o objeto).
Passo 6
Resumo dos resultados obtidos para todo
(qualquer posição do lápis em frente ao espelho convexo):
-
→ imagem virtual (formada atrás do espelho). -
→ imagem direita. -
→ imagem reduzida.
Essas conclusões não dependem de uma posição específica do objeto (desde que o objeto esteja no lado do espelho, ou seja,
); portanto valem para aproximação e afastamento do lápis.
Passo 7
Comparemos com as alternativas: a alternativa (a) afirma que a imagem “é virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do lápis” — isso coincide exatamente com o que demonstramos. As outras alternativas contradizem as propriedades do espelho convexo (por exemplo, afirmar que pode ser real, ou que é invertida, ou que é simétrica) e portanto estão incorretas.
Resposta
a) é virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do lápis.