Diante de uma grande bola de Natal que tem a superficie externa espelhada, um observador dispõe um lápis, que é aproximado e afastado da superfície refletora. A respeito da imagem que a bola conjuga ao lápis, podemos afirmar que:
a) é virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do lápis.
b) pode ser real ou virtual, dependendo da posição do lápis.
c) é real, invertida e aumentada, qualquer que seja a posição do lápis.
d) é simétrica do lápis em relação à superfície refletora.
e) nenhuma proposição anterior é correta.

Passo 1

O enunciado descreve uma grande bola de Natal cuja superfície externa é espelhada. Um observador aproxima e afasta um lápis dessa superfície refletora. A pergunta é: qual das alternativas descreve corretamente a imagem que a bola forma do lápis?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A superfície refletora é a face externa da esfera (isto é, o espelho está na parte convexa da superfície).
  • O objeto é um lápis colocado em frente ao espelho, cuja posição pode variar (aproximação e afastamento).
  • Precisa-se caracterizar a imagem: se é real ou virtual, direita ou invertida, e se é aumentada, reduzida ou igual.

Passo 2

Entender a geometria básica: a superfície espelhada é a parte externa de uma esfera. O centro da esfera chamamos de centro de curvatura C e o raio da esfera é R. Para um espelho esférico cuja face refletora é a externa da esfera, dizemos que o espelho é convexo (a superfície refletora “sai para fora”). Uma propriedade geométrica importante é que o foco do espelho esférico está no meio do caminho entre a superfície e o centro de curvatura; para espelho esférico ideal vale
f=\frac{R}{2},
onde f é a distância focal em módulo. No caso de um espelho convexo, pela convenção de sinais, a distância focal é negativa, então usaremos
f=-\frac{R}{2}.
Explico: R é a distância do vértice do espelho até o centro da esfera C. O foco F está a metade dessa distância. No espelho convexo o foco fica “do outro lado” do espelho (atrás da superfície), por isto f é negativo.

Passo 3

Como o espelho é convexo, a imagem de qualquer objeto real colocado em frente ao espelho é formada atrás do espelho (ou seja, no lado oposto ao objeto) — portanto a imagem é virtual. Vou explicar isso com a equação dos espelhos e com o raciocínio dos raios.
Equação dos espelhos esféricos:
\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f},
onde:
  • d_o é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto está à frente do espelho);
  • d_i é a distância da imagem ao vértice do espelho (positiva se a imagem estiver no mesmo lado do objeto — real —, negativa se estiver atrás do espelho — virtual);
  • f é a distância focal (negativa para espelho convexo).
Para nosso caso d_o>0 e f<0. Vou manipular a equação para descobrir o sinal de d_i.

Passo 4

Isolando d_i na equação:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}=\frac{d_o-f}{f\,d_o}.
Logo
d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f}.
Como f<0 e d_o>0, o numerador f\,d_o é negativo. O denominador d_o-f é positivo porque d_o- f = d_o -(\text{valor negativo}) = d_o + |f|>0. Portanto d_i é negativo. Conclusão: a imagem está atrás do espelho (sinal negativo em d_i), logo é virtual.

Passo 5

Agora vamos ver se a imagem é direita ou invertida e se é aumentada ou reduzida. A magnificação linear m é dada por
m=-\frac{d_i}{d_o}.
Substituindo nossa expressão para d_i em termos de f e d_o:
m=-\frac{1}{d_o}\cdot\frac{f\,d_o}{d_o-f}=-\frac{f}{d_o-f}.
Lembrando f<0, escrevemos f=-|f|. Então
m=-\frac{-|f|}{d_o-(-|f|)}=\frac{|f|}{d_o+|f|}.
Deste último passo vemos que m>0 (positivo significa imagem direita em relação ao objeto) e que
0<m<1
porque d_o+|f|> |f|, então a fração é menor que 1. Portanto a imagem é direita (não invertida) e reduzida (menor que o objeto).

Passo 6

Resumo dos resultados obtidos para todo d_o>0 (qualquer posição do lápis em frente ao espelho convexo):
  • d_i<0 → imagem virtual (formada atrás do espelho).
  • m>0 → imagem direita.
  • 0<m<1 → imagem reduzida.
Essas conclusões não dependem de uma posição específica do objeto (desde que o objeto esteja no lado do espelho, ou seja, d_o>0); portanto valem para aproximação e afastamento do lápis.

Passo 7

Comparemos com as alternativas: a alternativa (a) afirma que a imagem “é virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do lápis” — isso coincide exatamente com o que demonstramos. As outras alternativas contradizem as propriedades do espelho convexo (por exemplo, afirmar que pode ser real, ou que é invertida, ou que é simétrica) e portanto estão incorretas.

Resposta

a) é virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do lápis.

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