Diante de um espelho esférico, perpendicularmente ao seu eixo principal, é colocado um objeto luminoso a 15 cm do vértice. Deseja-se que a imagem correspondente seja projetada num anteparo e tenha quatro vezes o comprimento do objeto. Determine:
a) se a imagem é real ou virtual, direita ou invertida.
b) a distância do anteparo ao vértice do espelho para que a imagem seja nítida.
c) a distância focal do espelho.
a) se a imagem é real ou virtual, direita ou invertida.
b) a distância do anteparo ao vértice do espelho para que a imagem seja nítida.
c) a distância focal do espelho.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz essas perguntas:
-
Informações dadas:
- Um objeto luminoso é colocado perpendicularmente ao eixo principal do espelho, a
do vértice. (Vou chamar essa distância de objeto de .) - Deseja-se que a imagem projetada num anteparo tenha comprimento quatro vezes o comprimento do objeto (razão de ampliação em módulo igual a
).
- Um objeto luminoso é colocado perpendicularmente ao eixo principal do espelho, a
-
Perguntas:
(a) A imagem é real ou virtual? É direita (não invertida) ou invertida?
(b) Qual deve ser a distância do anteparo ao vértice do espelho para que a imagem seja nítida? (ou seja, qual opara a imagem formada?)
(c) Qual é a distância focal do espelho?
Passo 2
Escolhemos uma convenção de sinais clara (muito usada e prática):
- Distâncias são medidas a partir do vértice do espelho.
-
= distância do objeto ao vértice. Para um objeto real colocado na frente do espelho, . -
= distância da imagem ao vértice. Se a imagem for real e formada na frente do espelho, então . Se a imagem for virtual (atrás do espelho), então . -
= distância focal do espelho. Para um espelho côncavo típico que forma imagens reais, .
Fórmulas que vamos usar (são fórmulas básicas de espelhos esféricos; explico o que cada símbolo significa):
- Equação dos espelhos (relação entre
, e ):
Aqui
é a soma das inversas das distâncias do objeto e da imagem medidas do vértice.
- Ampliação lateral (relação entre alturas e distâncias):
onde
é a altura do objeto e
é a altura da imagem. O sinal negativo indica que, quando
e
têm sinais positivos (imagem real e objeto real), a imagem fica invertida (
). Em palavras:
significa imagem direita (não invertida),
significa imagem invertida.
Vou trabalhar com
(fornecido).
Passo 3
Interpretando o enunciado sobre “projetada num anteparo”: quando dizemos que a imagem é projetada num anteparo (tela), isso significa que a imagem deve ser real — só imagens reais podem ser formadas num anteparo/tela (imagens virtuais não podem ser focadas numa tela). Pela convenção dada isso significa que devemos ter
.
Agora usemos a fórmula da ampliação. O enunciado pede que a imagem tenha comprimento quatro vezes o do objeto, isto é
. Pela fórmula
Como
e queremos
(imagem real), então
será negativo: isso implica
. Portanto a ampliação é
(módulo
e sinal negativo). Conclusão parcial: a imagem é invertida (porque
) e real (porque
). Isto responde a parte (a) já em essência — vamos mostrar isso de maneira explícita no final.
Passo 4
A partir de
e sabendo que
e
, calculamos
.
Escrevendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto a distância da imagem ao vértice (ou seja, a posição em que o anteparo deve estar para a imagem ficar nítida) é
. Isso responde a parte (b).
Passo 5
Agora calculamos a distância focal
usando a equação dos espelhos:
Substituindo
e
:
Somando as frações:
, então
Logo
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- Obtivemos
: imagem real (pode ser projetada na tela). - A ampliação calculada é
: negativa e de módulo , portanto a imagem é invertida e tem quatro vezes o tamanho do objeto. - A distância focal positiva
indica que o espelho é côncavo (faz imagens reais na frente do espelho), consistente com a possibilidade de projeção numa tela.
Resposta
(a) Imagem real e invertida.
(b) Distância do anteparo ao vértice: .
(c) Distância focal do espelho: .
(b) Distância do anteparo ao vértice:
(c) Distância focal do espelho: