Diante de um espelho esférico, perpendicularmente ao seu eixo principal, é colocado um objeto luminoso a 15 cm do vértice. Deseja-se que a imagem correspondente seja projetada num anteparo e tenha quatro vezes o comprimento do objeto. Determine:
a) se a imagem é real ou virtual, direita ou invertida.
b) a distância do anteparo ao vértice do espelho para que a imagem seja nítida.
c) a distância focal do espelho.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz essas perguntas:
  • Informações dadas:
    • Um objeto luminoso é colocado perpendicularmente ao eixo principal do espelho, a 15\\ \text{cm} do vértice. (Vou chamar essa distância de objeto de p.)
    • Deseja-se que a imagem projetada num anteparo tenha comprimento quatro vezes o comprimento do objeto (razão de ampliação em módulo igual a 4).
  • Perguntas:
    (a) A imagem é real ou virtual? É direita (não invertida) ou invertida?
    (b) Qual deve ser a distância do anteparo ao vértice do espelho para que a imagem seja nítida? (ou seja, qual o q para a imagem formada?)
    (c) Qual é a distância focal do espelho f?

Passo 2

Escolhemos uma convenção de sinais clara (muito usada e prática):
  • Distâncias são medidas a partir do vértice do espelho.
  • p = distância do objeto ao vértice. Para um objeto real colocado na frente do espelho, \,p>0.
  • q = distância da imagem ao vértice. Se a imagem for real e formada na frente do espelho, então \,q>0. Se a imagem for virtual (atrás do espelho), então \,q<0.
  • f = distância focal do espelho. Para um espelho côncavo típico que forma imagens reais, \,f>0.
Fórmulas que vamos usar (são fórmulas básicas de espelhos esféricos; explico o que cada símbolo significa):
  • Equação dos espelhos (relação entre p, q e f):
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.
Aqui \frac{1}{f} é a soma das inversas das distâncias do objeto e da imagem medidas do vértice.
  • Ampliação lateral (relação entre alturas e distâncias):
m=\frac{h'}{h}=-\frac{q}{p},
onde h é a altura do objeto e h' é a altura da imagem. O sinal negativo indica que, quando q e p têm sinais positivos (imagem real e objeto real), a imagem fica invertida ( m<0). Em palavras: m>0 significa imagem direita (não invertida), m<0 significa imagem invertida.
Vou trabalhar com p=15\\ \text{cm} (fornecido).

Passo 3

Interpretando o enunciado sobre “projetada num anteparo”: quando dizemos que a imagem é projetada num anteparo (tela), isso significa que a imagem deve ser real — só imagens reais podem ser formadas num anteparo/tela (imagens virtuais não podem ser focadas numa tela). Pela convenção dada isso significa que devemos ter q>0.
Agora usemos a fórmula da ampliação. O enunciado pede que a imagem tenha comprimento quatro vezes o do objeto, isto é |m|=4. Pela fórmula
m=-\frac{q}{p}.
Como p=15>0 e queremos q>0 (imagem real), então -\frac{q}{p} será negativo: isso implica m<0. Portanto a ampliação é m=-4 (módulo 4 e sinal negativo). Conclusão parcial: a imagem é invertida (porque m<0) e real (porque q>0). Isto responde a parte (a) já em essência — vamos mostrar isso de maneira explícita no final.

Passo 4

A partir de m=-\dfrac{q}{p} e sabendo que m=-4 e p=15\\ \text{cm}, calculamos q.
Escrevendo a equação:
-4=-\frac{q}{15}.
Multiplicando ambos os lados por -1:
4=\frac{q}{15}.
Multiplicando ambos os lados por 15:
q=4\cdot 15=60\\ \text{cm}.
Portanto a distância da imagem ao vértice (ou seja, a posição em que o anteparo deve estar para a imagem ficar nítida) é q=60\\ \text{cm}. Isso responde a parte (b).

Passo 5

Agora calculamos a distância focal f usando a equação dos espelhos:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.
Substituindo p=15\\ \text{cm} e q=60\\ \text{cm}:
\frac{1}{f}=\frac{1}{15}+\frac{1}{60}.
Somando as frações: \frac{1}{15}=\frac{4}{60}, então
\frac{1}{f}=\frac{4}{60}+\frac{1}{60}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}.
Logo
f=12\\ \text{cm}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • Obtivemos q=60\\ \text{cm}>0: imagem real (pode ser projetada na tela).
  • A ampliação calculada é m=-\dfrac{q}{p}=-\dfrac{60}{15}=-4: negativa e de módulo 4, portanto a imagem é invertida e tem quatro vezes o tamanho do objeto.
  • A distância focal positiva f=12\\ \text{cm} indica que o espelho é côncavo (faz imagens reais na frente do espelho), consistente com a possibilidade de projeção numa tela.

Resposta

(a) Imagem real e invertida.
(b) Distância do anteparo ao vértice: 60\\ \text{cm}.
(c) Distância focal do espelho: 12\\ \text{cm}.

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