Um homem situado a 2,0 \mathrm{~m} do vértice de um espelho esférico gaussiano visa sua imagem direita e ampliada três vezes. Determine:
a) a distância focal do espelho.
b) sua natureza (côncavo ou convexo).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informações dadas:
    • O homem (objeto) está a \,2,0\\ \mathrm{m} do vértice do espelho. Vou chamar essa distância de p, ou seja, p=\;2,0\\ \mathrm{m}.
    • A imagem é direita (isto é, não invertida) e ampliada três vezes. Vou chamar a ampliação de m, ou seja, m=+3 (sinal positivo porque a imagem é direita).
  • Pedidos:
    • (a) Determinar a distância focal f do espelho.
    • (b) Determinar a natureza do espelho (côncavo ou convexo).

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Convenção de sinais (convenção gaussiana simples que usaremos):
    • p é a distância do objeto ao vértice; para um objeto real na frente do espelho tomamos p>0.
    • p' é a distância da imagem ao vértice; se a imagem for real (formada na frente do espelho) então p'>0; se for virtual (atrás do espelho) então p'<0.
    • f é a distância focal; para espelho côncavo f>0 e para espelho convexo f<0.
  • Fórmula da ampliação (ligando alturas e distâncias):
    m=\frac{h'}{h}=-\frac{p'}{p},
    onde h é a altura do objeto, h' a altura da imagem, p a distância objeto e p' a distância imagem. A interpretação: o sinal de m indica orientação (positivo = imagem direita/erecta; negativo = invertida). O módulo |m| indica o fator de tamanho.
  • Equação dos espelhos (fórmula de Gauss):
    \frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}.
    Essa fórmula relaciona a distância focal f com as distâncias do objeto p e da imagem p'.

Passo 3

Usar a informação da ampliação para encontrar p'.
  • Temos m=+3 e p=+2,0\\ \mathrm{m}.
  • Usando m=-\dfrac{p'}{p} isolamos p': m=-\frac{p'}{p}\quad\Rightarrow\quad p'=-m\,p.
  • Substituindo os valores: p'=-\;3\cdot(2,0\\ \mathrm{m})=-6,0\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação do sinal: p'=-6,0\\ \mathrm{m} significa que a imagem é virtual e está localizada atrás do espelho (o que é consistente com a imagem ser direita).

Passo 4

Calcular a distância focal f usando a equação dos espelhos.
  • Escrevemos a fórmula: \frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}.
  • Substituímos p=2,0\\ \mathrm{m} e p'=-6,0\\ \mathrm{m}: \frac{1}{f}=\frac{1}{2,0}+\frac{1}{-6,0}.
  • Fazendo as contas (vou detalhar a soma de frações): \frac{1}{2,0}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{-6,0}=-\frac{1}{6},então \frac{1}{f}=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
  • Logo f=3,0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Determinar a natureza do espelho e verificar consistência.
  • Obtivemos f=+3,0\\ \mathrm{m}. Pelo nosso critério de sinais, f>0 indica que o espelho é côncavo.
  • Checagem física: para um espelho côncavo, se o objeto estiver dentro da distância focal ( p<f) a imagem é virtual, direita e ampliada — exatamente o caso aqui, pois p=2,0\\ \mathrm{m} e f=3,0\\ \mathrm{m} implicam p<f. Assim tudo é consistente.

Resposta

a) f=3,0\\ \mathrm{m}
b) côncavo

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