Um homem situado a
do vértice de um espelho esférico gaussiano visa sua imagem direita e ampliada três vezes. Determine:
a) a distância focal do espelho.
b) sua natureza (côncavo ou convexo).
a) a distância focal do espelho.
b) sua natureza (côncavo ou convexo).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informações dadas:
- O homem (objeto) está a
do vértice do espelho. Vou chamar essa distância de , ou seja, . - A imagem é direita (isto é, não invertida) e ampliada três vezes. Vou chamar a ampliação de
, ou seja, (sinal positivo porque a imagem é direita).
- O homem (objeto) está a
- Pedidos:
- (a) Determinar a distância focal
do espelho. - (b) Determinar a natureza do espelho (côncavo ou convexo).
- (a) Determinar a distância focal
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
-
Convenção de sinais (convenção gaussiana simples que usaremos):
-
é a distância do objeto ao vértice; para um objeto real na frente do espelho tomamos . -
é a distância da imagem ao vértice; se a imagem for real (formada na frente do espelho) então ; se for virtual (atrás do espelho) então . -
é a distância focal; para espelho côncavo e para espelho convexo .
-
-
Fórmula da ampliação (ligando alturas e distâncias):onde
é a altura do objeto, a altura da imagem, a distância objeto e a distância imagem. A interpretação: o sinal de indica orientação (positivo = imagem direita/erecta; negativo = invertida). O módulo indica o fator de tamanho. -
Equação dos espelhos (fórmula de Gauss):Essa fórmula relaciona a distância focal
com as distâncias do objeto e da imagem .
Passo 3
Usar a informação da ampliação para encontrar
.
- Temos
e . - Usando
isolamos : - Substituindo os valores:
- Interpretação do sinal:
significa que a imagem é virtual e está localizada atrás do espelho (o que é consistente com a imagem ser direita).
Passo 4
Calcular a distância focal
usando a equação dos espelhos.
- Escrevemos a fórmula:
- Substituímos
e : - Fazendo as contas (vou detalhar a soma de frações):
então - Logo
Passo 5
Determinar a natureza do espelho e verificar consistência.
- Obtivemos
. Pelo nosso critério de sinais, indica que o espelho é côncavo. - Checagem física: para um espelho côncavo, se o objeto estiver dentro da distância focal (
) a imagem é virtual, direita e ampliada — exatamente o caso aqui, pois e implicam . Assim tudo é consistente.
Resposta
a)
b) côncavo
b) côncavo