Considere uma espira circular de raio
percorrida por uma corrente I: (Consulte Resnick, R.; Hallyday, D. Física III, LTC, 1996.)
Mostre que o valor do campo magnético para grandes distâncias da espira é
, onde
. Há alguma semelhança com a expressão do campo elétrico sobre o eixo de um dipolo elétrico de momento p? Explique.
Mostre que o valor do campo magnético para grandes distâncias da espira é
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular o campo magnético longe da espira circular com raio
e corrente
. A matéria aqui é Eletromagnetismo, especificamente sobre o campo magnético gerado por correntes elétricas. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Biot-Savart e conceitos de dipolos magnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos dá o campo magnético
gerado por um elemento de corrente:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente,
é um elemento da espira,
é o vetor unitário na direção de
, e
é a distância até o ponto onde queremos calcular o campo.
Passo 3
Para grandes distâncias (
), a espira pode ser aproximada como um dipolo magnético. Um dipolo magnético tem momento magnético
. Essa aproximação simplifica o cálculo, pois podemos usar a expressão do campo de um dipolo magnético em afastamento.
Passo 4
A expressão geral do campo magnético de um dipolo em um ponto distante na direção do eixo do dipolo é:
Onde:
-
é o momento magnético da espira. -
é a distância do centro da espira até o ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 5
Substituindo o valor de
na expressão do campo:
Isso confirma a expressão que o enunciado quer que mostremos.
Passo 6
Agora, comparando com o campo elétrico de um dipolo elétrico. O campo elétrico ao longo do eixo de um dipolo elétrico também decai como
e é proporcional ao momento dipolar elétrico
. A semelhança está justamente na dependência do campo com
e na presença do momento dipolar (
para magnético e
para elétrico).
Resposta
O campo magnético para grandes distâncias da espira circular é dado por:
onde
. Além disso, há uma semelhança com a expressão do campo elétrico de um dipolo elétrico, pois ambos os campos decaem com
e são proporcionais aos seus respectivos momentos dipolares.