Considere uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente I: (Consulte Resnick, R.; Hallyday, D. Física III, LTC, 1996.)
Mostre que o valor do campo magnético para grandes distâncias da espira é Bx=mu04 pi 2 mux^3, onde mu=I pi R^2. Há alguma semelhança com a expressão do campo elétrico sobre o eixo de um dipolo elétrico de momento p? Explique.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular o campo magnético longe da espira circular com raio R e corrente I. A matéria aqui é Eletromagnetismo, especificamente sobre o campo magnético gerado por correntes elétricas. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Biot-Savart e conceitos de dipolos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart, que nos dá o campo magnético B gerado por um elemento de corrente:
B = mu04pi integral I dl times rr^2
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo, I é a corrente, dl é um elemento da espira, r é o vetor unitário na direção de r, e r é a distância até o ponto onde queremos calcular o campo.

Passo 3

Para grandes distâncias ( x gg R), a espira pode ser aproximada como um dipolo magnético. Um dipolo magnético tem momento magnético mu = I pi R^2. Essa aproximação simplifica o cálculo, pois podemos usar a expressão do campo de um dipolo magnético em afastamento.

Passo 4

A expressão geral do campo magnético de um dipolo em um ponto distante na direção do eixo do dipolo é:
Bx = mu04pi 2mux^3
Onde:
  • mu = I pi R^2 é o momento magnético da espira.
  • x é a distância do centro da espira até o ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 5

Substituindo o valor de mu na expressão do campo:
Bx = mu04pi 2(I pi R^2)x^3 = mu04pi 2mux^3
Isso confirma a expressão que o enunciado quer que mostremos.

Passo 6

Agora, comparando com o campo elétrico de um dipolo elétrico. O campo elétrico ao longo do eixo de um dipolo elétrico também decai como 1/x^3 e é proporcional ao momento dipolar elétrico p. A semelhança está justamente na dependência do campo com 1/x^3 e na presença do momento dipolar ( mu para magnético e p para elétrico).

Resposta

O campo magnético para grandes distâncias da espira circular é dado por:
Bx = mu04 pi 2 mux^3
onde mu = I pi R^2. Além disso, há uma semelhança com a expressão do campo elétrico de um dipolo elétrico, pois ambos os campos decaem com 1/x^3 e são proporcionais aos seus respectivos momentos dipolares.

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