Considere uma espira estacionária em um campo magnético variável no tempo. Então,
Aplicando o teorema de Stokes, tem-se que:
Lei de Faraday (forma diferencial)
Aplicando o teorema de Stokes, tem-se que:
Lei de Faraday (forma diferencial)
Passo 1
Beleza, vamos por partes. O enunciado fala de uma espira parada num campo magnético que muda com o tempo. Ele mostra a forma integral da Lei de Faraday:
e pede pra chegar na forma diferencial:
Conteúdo: Eletromagnetismo (Lei de Faraday) e Teorema de Stokes. Vamos precisar entender linha e superfície, derivada no tempo e Stokes.
Passo 2
Primeiro, como a espira não se mexe, a superfície
é fixa. Então podemos “entrar” com a derivada no integrando:
$$-\frac{d}{dt}\int_{S}!\vec B\cdot d\vec S
=-\int_{S}!\frac{\partial\vec B}{\partial t}!\cdot d\vec S$$
Aqui usei que , pois
é constante.
Aqui usei que
Passo 3
Agora, a parte da esquerda era
. Pelo Teorema de Stokes, isso vira um integral de superfície do rotacional de
:
$$\oint_{L}\vec E\cdot d\vec l
=\int_{S}(\nabla\times\vec E)\cdot d\vec S$$
Então igualamos as duas expressões de integral sobre a mesma superfície .
Então igualamos as duas expressões de integral sobre a mesma superfície
Passo 4
Ficamos com
$$\int_{S}(\nabla\times\vec E)\cdot d\vec S
=-\int_{S}\frac{\partial\vec B}{\partial t}\cdot d\vec S$$
Como isso vale para qualquer superfície , os integrandos têm que ser iguais ponto a ponto. Daí vem a forma diferencial da Lei de Faraday:
Como isso vale para qualquer superfície