Considere uma espira estacionária em um campo magnético variável no tempo. Então,
Vf e m=ointL E cdot d l=-dd t integralS B cdot d S
Vf e m=ointL E cdot d l=-integralS partial Bpartial t cdot d S
Aplicando o teorema de Stokes, tem-se que:
integralS(nabla times E) cdot d S=-integralS partial Bpartial t cdot d S
nabla times E=-partial Bpartial t
Lei de Faraday (forma diferencial)

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado fala de uma espira parada num campo magnético que muda com o tempo. Ele mostra a forma integral da Lei de Faraday:
Vfem=ointLvec Ecdot dvec l=-ddt!integralSvec Bcdot dvec S
e pede pra chegar na forma diferencial:
nablatimesvec E=-partialvec Bpartial t
Conteúdo: Eletromagnetismo (Lei de Faraday) e Teorema de Stokes. Vamos precisar entender linha e superfície, derivada no tempo e Stokes.

Passo 2

Primeiro, como a espira não se mexe, a superfície -ddtintegralS!vec Bcdot dvec S =-integralS!partialvec Bpartial t!cdot dvec S é fixa. Então podemos “entrar” com a derivada no integrando:
$$-\frac{d}{dt}\int_{S}!\vec B\cdot d\vec S
=-\int_{S}!\frac{\partial\vec B}{\partial t}!\cdot d\vec S$$
Aqui usei que , pois é constante.

Passo 3

Agora, a parte da esquerda era ointLvec Ecdot dvec l =integralS(nablatimesvec E)cdot dvec S. Pelo Teorema de Stokes, isso vira um integral de superfície do rotacional de :
$$\oint_{L}\vec E\cdot d\vec l
=\int_{S}(\nabla\times\vec E)\cdot d\vec S$$
Então igualamos as duas expressões de integral sobre a mesma superfície .

Passo 4

Ficamos com
$$\int_{S}(\nabla\times\vec E)\cdot d\vec S
=-\int_{S}\frac{\partial\vec B}{\partial t}\cdot d\vec S$$
Como isso vale para qualquer superfície integralS(nablatimesvec E)cdot dvec S =-integralSpartialvec Bpartial tcdot dvec S, os integrandos têm que ser iguais ponto a ponto. Daí vem a forma diferencial da Lei de Faraday:

Resposta

nablatimesvec E ;=; -partial vec Bpartial t

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