Para a seguinte definição
f(varepsilon)=sumn=0^infty e^-n varepsilon / k T
escreva a seguinte série em termos de f^prime(varepsilon) :
g(varepsilon)=sumn=1^infty n varepsilon e^-n varepsilon / k T
Então use o resultado da série geométrica para mostrar que g pode ser escrito na forma
sumn=1^infty n varepsilon e^-n varepsilon / k T=varepsilon alpha+2 varepsilon alpha^2+3 varepsilon alpha^3+cdots=varepsilon alpha(1-alpha)^2
onde alpha=exp (-varepsilon / K T).

Passo 1

Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre séries infinitas e derivadas. Precisamos entender como manipular essas séries e usar a derivada para relacionar duas funções definidas por somas infinitas. Vamos precisar de conhecimentos básicos sobre séries geométricas e como calcular derivadas de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas definições dadas. A função $ f(\varepsilon) $ é definida como:
f(varepsilon)
E queremos escrever a série $ g(\varepsilon) $:
f(varepsilon) = sumn=0^infty e^-n varepsilon / k T
em termos da derivada de $ f(\varepsilon) $, ou seja, $ f’(\varepsilon) $.

Passo 3

Vamos ver o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma de termos que têm uma razão constante entre si. Ela tem a forma:
sumn=0^infty alpha^n = 11 - alpha, onde |alpha| < 1
Isso vai ser útil para simplificar nossas séries.

Passo 4

Agora, observamos que $ f(\varepsilon) $ é uma série geométrica onde $ \alpha = e^{-\varepsilon / k T} $. Então podemos reescrever $ f(\varepsilon) $ usando a fórmula da série geométrica:
f(varepsilon)

Passo 5

Queremos relacionar $ g(\varepsilon) $ com a derivada de $ f(\varepsilon) $. Vamos calcular a derivada de $ f(\varepsilon) $ em relação a $ \varepsilon $:
g(varepsilon)
Onde $ \alpha = e^{-\varepsilon / k T} $, então $ \frac{d\alpha}{d\varepsilon} = -\frac{\alpha}{k T} $.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia na derivada:
f'(varepsilon) = 0 - (-1) cdot dalphadvarepsilon(1 - alpha)^2 = alphak T(1 - alpha)^2 = alphak T (1 - alpha)^2

Passo 7

Agora, voltamos à expressão de $ g(\varepsilon) $. Observamos que:
g(varepsilon)
Isso pode ser escrito como $ \varepsilon \sum_{n=1}^{\infty} n \alpha^n $.

Passo 8

Sabemos que a soma $ \sum_{n=1}^{\infty} n \alpha^n $ é igual a $ \frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} $, derivada da série geométrica. Portanto:
sumn=1^infty n alpha^n

Resposta

Portanto, a série $ g(\varepsilon) $ pode ser escrita como:
g(varepsilon)
onde $ \alpha = e^{-\varepsilon / k T} $.

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