Para a seguinte definição
escreva a seguinte série em termos de
:
Então use o resultado da série geométrica para mostrar que
pode ser escrito na forma
onde
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre séries infinitas e derivadas. Precisamos entender como manipular essas séries e usar a derivada para relacionar duas funções definidas por somas infinitas. Vamos precisar de conhecimentos básicos sobre séries geométricas e como calcular derivadas de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas definições dadas. A função $ f(\varepsilon) $ é definida como:
E queremos escrever a série $ g(\varepsilon) $:
em termos da derivada de $ f(\varepsilon) $, ou seja, $ f’(\varepsilon) $.
Passo 3
Vamos ver o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma de termos que têm uma razão constante entre si. Ela tem a forma:
Isso vai ser útil para simplificar nossas séries.
Passo 4
Agora, observamos que $ f(\varepsilon) $ é uma série geométrica onde $ \alpha = e^{-\varepsilon / k T} $. Então podemos reescrever $ f(\varepsilon) $ usando a fórmula da série geométrica:
Passo 5
Queremos relacionar $ g(\varepsilon) $ com a derivada de $ f(\varepsilon) $. Vamos calcular a derivada de $ f(\varepsilon) $ em relação a $ \varepsilon $:
Onde $ \alpha = e^{-\varepsilon / k T} $, então $ \frac{d\alpha}{d\varepsilon} = -\frac{\alpha}{k T} $.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia na derivada:
Passo 7
Agora, voltamos à expressão de $ g(\varepsilon) $. Observamos que:
Isso pode ser escrito como $ \varepsilon \sum_{n=1}^{\infty} n \alpha^n $.
Passo 8
Sabemos que a soma $ \sum_{n=1}^{\infty} n \alpha^n $ é igual a $ \frac{\alpha}{(1 - \alpha)^2} $, derivada da série geométrica. Portanto:
Resposta
Portanto, a série $ g(\varepsilon) $ pode ser escrita como:
onde $ \alpha = e^{-\varepsilon / k T} $.