Considere uma espira retangular paralela ao plano xz em presença de um campo magnético paralelo ao eixo y. Calcule a fem induzida na espira nos seguintes casos:
c) espira giranto em torno do eixo z com velocidade angular constante e campo magnético dependente do tempo na forma
.
c) espira giranto em torno do eixo z com velocidade angular constante e campo magnético dependente do tempo na forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espira retangular que está paralela ao plano xz e está no meio de um campo magnético que aponta ao longo do eixo y. Queremos calcular a fem induzida nessa espira quando ela está girando em torno do eixo z com velocidade angular constante, e o campo magnético está mudando no tempo seguindo $ B = B_{0} \sin(\omega t) $. Vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e entender como a rotação e a variação do campo magnético influenciam a fem induzida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que nos diz que a fem induzida ($ \mathcal{E}
\Phi $) através dela:
Então, precisamos calcular como o fluxo magnético está mudando com o tempo.
Passo 3
O fluxo magnético ($ \Phi
B
A
\theta $) entre o campo e a normal da área:
Como a espira está girando, esse ângulo $ \theta $ muda com o tempo. Se a espira está girando com uma velocidade angular constante $ \Omega $, então:
Passo 4
Substituindo $ \theta $ na expressão do fluxo:
Sabemos que $ B(t) = B_{0} \sin(\omega t) $, então:
Passo 5
Agora, precisamos derivar $ \Phi $ em relação ao tempo para encontrar a fem induzida:
Vamos derivar isso passo a passo.
Passo 6
Aplicando a regra do produto para derivadas:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 7
Portanto, a fem induzida fica:
Simplificando os sinais:
Passo 8
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica:
Rearranjando, temos:
Usando essas identidades, reescrevemos a fem:
Passo 9
Distribuindo e simplificando:
Passo 10
Finalmente, agrupando os termos:
Resposta
A fem induzida na espira é dada por: