Considere uma espira retangular paralela ao plano xz em presença de um campo magnético paralelo ao eixo y. Calcule a fem induzida na espira nos seguintes casos:
c) espira giranto em torno do eixo z com velocidade angular constante e campo magnético dependente do tempo na forma B=B0 sen(omega t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espira retangular que está paralela ao plano xz e está no meio de um campo magnético que aponta ao longo do eixo y. Queremos calcular a fem induzida nessa espira quando ela está girando em torno do eixo z com velocidade angular constante, e o campo magnético está mudando no tempo seguindo $ B = B_{0} \sin(\omega t) $. Vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e entender como a rotação e a variação do campo magnético influenciam a fem induzida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que nos diz que a fem induzida ($ \mathcal{E} E éàçãé \Phi $) através dela:
Phi
Então, precisamos calcular como o fluxo magnético está mudando com o tempo.

Passo 3

O fluxo magnético ($ \Phi Phi éé B B á A A â \theta $) entre o campo e a normal da área:
theta
Como a espira está girando, esse ângulo $ \theta $ muda com o tempo. Se a espira está girando com uma velocidade angular constante $ \Omega $, então:
Phi = B cdot A cdot cos(theta)

Passo 4

Substituindo $ \theta $ na expressão do fluxo:
theta
Sabemos que $ B(t) = B_{0} \sin(\omega t) $, então:
Phi = B(t) cdot A cdot cos(Omega t)

Passo 5

Agora, precisamos derivar $ \Phi $ em relação ao tempo para encontrar a fem induzida:
Phi
Vamos derivar isso passo a passo.

Passo 6

Aplicando a regra do produto para derivadas:
ddt [sin(omega t) cdot cos(Omega t)] = sin(omega t) cdot ddt[cos(Omega t)] + cos(Omega t) cdot ddt[sin(omega t)]
Calculando as derivadas:
ddt[cos(Omega t)] = -Omega sin(Omega t)
ddt[sin(omega t)] = omega cos(omega t)
Substituindo de volta:
ddt [sin(omega t) cdot cos(Omega t)] = sin(omega t) cdot (-Omega sin(Omega t)) + cos(Omega t) cdot (omega cos(omega t))
= -Omega sin(omega t) sin(Omega t) + omega cos(omega t) cos(Omega t)

Passo 7

Portanto, a fem induzida fica:
E = -B0 A [-Omega sin(omega t) sin(Omega t) + omega cos(omega t) cos(Omega t)]
Simplificando os sinais:
E = B0 A [Omega sin(omega t) sin(Omega t) - omega cos(omega t) cos(Omega t)]

Passo 8

Podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
Rearranjando, temos:
sin a sin b = 12 [cos(a - b) - cos(a + b)]
cos a cos b = 12 [cos(a - b) + cos(a + b)]
Usando essas identidades, reescrevemos a fem:
E = B0 A [ Omega cdot 12 [cos(omega t - Omega t) - cos(omega t + Omega t)] - omega cdot 12 [cos(omega t - Omega t) + cos(omega t + Omega t)] ]

Passo 9

Distribuindo e simplificando:
E = B0 A2 [ Omega cos((omega - Omega) t) - Omega cos((omega + Omega) t) - omega cos((omega - Omega) t) - omega cos((omega + Omega) t) ]
= B0 A2 [ (Omega - omega) cos((omega - Omega) t) - (Omega + omega) cos((omega + Omega) t) ]

Passo 10

Finalmente, agrupando os termos:
E = B0 A2 (Omega - omega) cos((omega - Omega) t) - B0 A2 (Omega + omega) cos((omega + Omega) t)

Resposta

A fem induzida na espira é dada por:
E = B0 A2 (Omega - omega) cos((omega - Omega) t) - B0 A2 (Omega + omega) cos((omega + Omega) t)

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