Dadas as matrizes:
. Obter: a) a matriz
tal que
;
8b
Dadas as matrizes:
. Obter: b) a matriz
tal que
.
8b
Dadas as matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! Temos três matrizes dadas:
Precisamos encontrar:
a) A matriz $ \mathbf{X} $ tal que $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} $;
b) A matriz $ \mathbf{Z} $ tal que $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{Z} = \mathbf{C} $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e inversão de matrizes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte a) Encontrar $ \mathbf{X} $ tal que $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} $
Primeiro, precisamos resolver a equação $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} $ para $ \mathbf{X} $.
Sabemos que se $ \mathbf{A} $ for invertível, podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de $ \mathbf{A} $ para isolar $ \mathbf{X} $. A fórmula fica:
Então, vamos primeiro encontrar a inversa de $ \mathbf{A} $.
Passo 3
Encontrando a inversa de $ \mathbf{A} $
A matriz $ \mathbf{A} $ é:
A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
onde $ \mathbf{A} =
$.
Calculando o determinante de $ \mathbf{A} $:
Então,
Passo 4
Calculando $ \mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B} $
Agora, vamos multiplicar a inversa de $ \mathbf{A} $ pela matriz $ \mathbf{B} $:
Fazendo a multiplicação:
- Primeiro elemento:
- Segundo elemento:
Então,
Passo 5
Parte b) Encontrar $ \mathbf{Z} $ tal que $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{Z} = \mathbf{C} $
Primeiro, vamos calcular $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} $.
Passo 6
Calculando $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} $
Multiplicando:
- Primeiro elemento:
- Segundo elemento:
Então,
Passo 7
Encontrando $ \mathbf{Z} $ usando $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{Z} = \mathbf{C} $
Queremos isolar $ \mathbf{Z} $:
Sabemos que:
Perceba que as dimensões não estão compatíveis para a subtração direta, então provavelmente há um erro na formulação. Geralmente, para somar ou subtrair matrizes, elas precisam ter a mesma dimensão.
Assumindo que $ \mathbf{C} $ seja uma matriz 2x1 para compatibilidade, vamos ajustar:
Agora, podemos subtrair:
Resposta
a) A matriz $ \mathbf{X} $ é:
b) A matriz $ \mathbf{Z} $ é: