Considere a espiral r=2 theta (dada em coordenadas polares).
Encontre uma equação da reta tangente a essa espiral no ponto (r, theta)=(pi, pi2). Equação da reta em coordenadas cartesianas e também em coordenadas polares.

Passo 1

A questão pede a reta tangente à espiral dada por r=2theta no ponto (r,theta)=(pi,tfracpi2). Vamos usar coordenadas polares e depois passar para cartesianas, encontrando a derivada implícita em termos de theta e, por fim, converter de volta para a forma polar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a curva em forma paramétrica (em função de theta) nas coordenadas cartesianas. Como x=rcostheta e y=rsintheta e r=2theta, temos:
x(theta)=2thetacostheta
y(theta)=2thetasintheta
Isso nos permite aplicar derivadas paramétricas.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para achar as derivadas em relação a theta:
Para x(theta)=2thetacostheta,
x'(theta)=2costheta-2thetasintheta
Para y(theta)=2thetasintheta,
y'(theta)=2sintheta+2thetacostheta

Passo 4

Avaliamos as derivadas em theta0=tfracpi2. Sabendo que sin(tfracpi2)=1 e cos(tfracpi2)=0, temos:
x'(tfracpi2)=2cdot0 - 2cdottfracpi2cdot1 = -pi
y'(tfracpi2)=2cdot1 + 2cdottfracpi2cdot0 = 2

Passo 5

O coeficiente angular da reta tangente é
m=y'(tfracpi2)x'(tfracpi2)=2-pi=-2pi
As coordenadas do ponto tangente em cartesianas são x0=picos(tfracpi2)=0 e y0=pisin(tfracpi2)=pi.

Passo 6

Montamos então a equação da reta em coordenadas cartesianas:
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo x0=0, y0=pi e m=-tfrac2pi:
y-pi = -2pix
Logo
y=-2pix + pi

Passo 7

Para obter a forma em coordenadas polares, substituímos x=rcostheta e y=rsintheta nessa reta e isolamos r:
rsintheta = -2pi(rcostheta)+pi
Agrupando termos em r:
rl(sintheta + tfrac2picosthetar)=pi
E, finalmente:
r=pisintheta + tfrac2picostheta

Resposta

Equação da reta tangente em coordenadas cartesianas:
y=-2pix+pi
Equação da reta tangente em coordenadas polares:
r=pisintheta+tfrac2picostheta

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