Considere a espiral
(dada em coordenadas polares).
Encontre uma equação da reta tangente a essa espiral no ponto
. Equação da reta em coordenadas cartesianas e também em coordenadas polares.
Encontre uma equação da reta tangente a essa espiral no ponto
Passo 1
A questão pede a reta tangente à espiral dada por
no ponto
. Vamos usar coordenadas polares e depois passar para cartesianas, encontrando a derivada implícita em termos de
e, por fim, converter de volta para a forma polar.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a curva em forma paramétrica (em função de
) nas coordenadas cartesianas. Como
e
e
, temos:
Isso nos permite aplicar derivadas paramétricas.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto para achar as derivadas em relação a
:
Para ,
Para
Para
Passo 4
Avaliamos as derivadas em
. Sabendo que
e
, temos:
Passo 5
O coeficiente angular da reta tangente é
As coordenadas do ponto tangente em cartesianas são
Passo 6
Montamos então a equação da reta em coordenadas cartesianas:
Substituindo
Logo
Passo 7
Para obter a forma em coordenadas polares, substituímos
e
nessa reta e isolamos
:
Agrupando termos em
E, finalmente:
Resposta
Equação da reta tangente em coordenadas cartesianas:
Equação da reta tangente em coordenadas polares: