Responda os itens abaixo:
Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique seus argumentos.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
O conteúdo envolve dois pontos: convergência absoluta (testando ) e, se não for absoluta, convergência condicional via o teste de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Vamos checar a convergência absoluta, ou seja, a série
Como para grandes n temos n^2+1n^3+3simn^2n^3=1n,
usamos o teste de comparação limite com a série harmônica divergente sum1/n:
limntoinfty(n^2+1)/(n^3+3)1/n=limntoinftyn^3+nn^3+3=1
Como o limite é finito e não nulo, a série de módulos diverge.
Passo 3
Agora aplicamos o teste de Leibniz (série alternada). Definimos
bn=n^2+1n^3+3
Precisamos verificar dois pontos:
1) bn>0 e bn decrescente para n>=2.
Uma forma é olhar a derivada da função contínua f(x)=x^2+1x^3+3,
que dá sinal negativo para x>2, mostrando decrescimento.
2) limntoinftybn=0.
De fato,
limntoinftyn^2+1n^3+3=0
Com esses dois pontos, pelo teste de Leibniz a série alternada converge.
Passo 4
Como não há convergência absoluta e a alternância satisfaz o teste de Leibniz, concluímos que a série converge apenas de forma condicional.