Responda os itens abaixo:
Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique seus argumentos.
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot n^2+1n^3+3

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1n^2+1n^3+3
O conteúdo envolve dois pontos: convergência absoluta (testando sum|an|) e, se não for absoluta, convergência condicional via o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Vamos checar a convergência absoluta, ou seja, a série
sumn=1^inftygl|(-1)^n+1n^2+1n^3+3gr| = sumn=1^inftyn^2+1n^3+3
Como para grandes n temos
n^2+1n^3+3simn^2n^3=1n,
usamos o teste de comparação limite com a série harmônica divergente sum1/n:
limntoinfty(n^2+1)/(n^3+3)1/n=limntoinftyn^3+nn^3+3=1
Como o limite é finito e não nulo, a série de módulos diverge.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz (série alternada). Definimos
bn=n^2+1n^3+3
Precisamos verificar dois pontos:
1) bn>0 e bn decrescente para n>=2.
Uma forma é olhar a derivada da função contínua
f(x)=x^2+1x^3+3,
que dá sinal negativo para x>2, mostrando decrescimento.
2) limntoinftybn=0.
De fato,
limntoinftyn^2+1n^3+3=0
Com esses dois pontos, pelo teste de Leibniz a série alternada converge.

Passo 4

Como não há convergência absoluta e a alternância satisfaz o teste de Leibniz, concluímos que a série converge apenas de forma condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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