Considere o estado inicial
Determine
.
Passo 1
O enunciado dá o estado quântico inicial
O que nos pedem: determinar
— isto é, o estado no tempo
.
Informações relevantes (assumidas como padrão neste tipo de questão):
-
e são autovetores (autestados) do Hamiltoniano , com autovalores (energias) e , respectivamente. Em fórmulas:
- Os autestados são ortonormais, ou seja,
- Assume-se Hamiltoniano independente do tempo (tempo estacionário), condição necessária para usar a forma exponencial do operador de evolução temporal.
Passo 2
Apresentar a regra de evolução temporal em mecânica quântica (equação de Schrödinger dependente do tempo) e a solução formal.
A equação de Schrödinger dependente do tempo (no quadro de Schrödinger) é
onde:
-
é a unidade imaginária, -
é a constante de Planck reduzida, -
é o Hamiltoniano (operador energia), -
é o estado no tempo .
Para um Hamiltoniano independente do tempo, a solução formal é dada pelo operador de evolução temporal
e então
Aqui
é a exponencial de operador (definida por série de potências).
Passo 3
Mostrar como
age sobre um autovetor de
.
Se
, então aplicando a série da exponencial:
Fatorando o escalar obtém-se a série da exponencial escalar:
Em palavras: cada autestado de energia acumula um fator de fase temporal
.
Passo 4
Aplicar linearidade do operador de evolução ao estado inicial.
Como
é linear, temos
Usando o resultado do passo anterior,
Passo 5
Interpretações úteis (didática, para lembrar na prova).
- A norma do estado é preservada no tempo. Verificação rápida:
pois os fatores de fase cancelam quando se multiplica por seus conjugados e
. Portanto o estado permanece normalizado.
-
As probabilidades de medir
ou permanecem constantes no tempo: e . -
O que muda com o tempo é a fase relativa entre os termos. Pode-se escrever, extraindo uma fase global (sem significado físico):
A fase global
não afeta probabilidades, mas a fase relativa
pode causar interferência em observáveis que não comutam com
.