Considere o estado inicial
|\psi(0)\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|E_{1}\right\rangle+\left|E_{2}\right\rangle\right)
Determine |\psi(t)\rangle.

Passo 1

O enunciado dá o estado quântico inicial
|\psi(0)\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|E_{1}\right\rangle+\left|E_{2}\right\rangle\right).
O que nos pedem: determinar |\psi(t)\rangle — isto é, o estado no tempo t.
Informações relevantes (assumidas como padrão neste tipo de questão):
  • \left|E_{1}\right\rangle e \left|E_{2}\right\rangle são autovetores (autestados) do Hamiltoniano H, com autovalores (energias) E_{1} e E_{2}, respectivamente. Em fórmulas:
H\left|E_{n}\right\rangle=E_{n}\left|E_{n}\right\rangle,\quad n=1,2.
  • Os autestados são ortonormais, ou seja,
\langle E_{m}|E_{n}\rangle=\delta_{mn}.
  • Assume-se Hamiltoniano independente do tempo (tempo estacionário), condição necessária para usar a forma exponencial do operador de evolução temporal.

Passo 2

Apresentar a regra de evolução temporal em mecânica quântica (equação de Schrödinger dependente do tempo) e a solução formal.
A equação de Schrödinger dependente do tempo (no quadro de Schrödinger) é
i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle,
onde:
  • i é a unidade imaginária,
  • \hbar é a constante de Planck reduzida,
  • H é o Hamiltoniano (operador energia),
  • |\psi(t)\rangle é o estado no tempo t.
Para um Hamiltoniano independente do tempo, a solução formal é dada pelo operador de evolução temporal
U(t)=e^{-\,\frac{i}{\hbar}Ht},
e então
|\psi(t)\rangle = U(t)\,|\psi(0)\rangle.
Aqui e^{-\,\frac{i}{\hbar}Ht} é a exponencial de operador (definida por série de potências).

Passo 3

Mostrar como U(t) age sobre um autovetor de H.
Se H\left|E_{n}\right\rangle=E_{n}\left|E_{n}\right\rangle, então aplicando a série da exponencial:
U(t)\left|E_{n}\right\rangle = \left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(-\frac{i}{\hbar}Ht\right)^{k}\right)\left|E_{n}\right\rangle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(-\frac{i}{\hbar}t\right)^{k}E_{n}^{k}\left|E_{n}\right\rangle.
Fatorando o escalar obtém-se a série da exponencial escalar:
U(t)\left|E_{n}\right\rangle = e^{-\,\frac{i}{\hbar}E_{n}t}\left|E_{n}\right\rangle.
Em palavras: cada autestado de energia acumula um fator de fase temporal \exp\!\big(-\tfrac{i}{\hbar}E_{n}t\big).

Passo 4

Aplicar linearidade do operador de evolução ao estado inicial.
Como U(t) é linear, temos
|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(U(t)\left|E_{1}\right\rangle + U(t)\left|E_{2}\right\rangle\big).
Usando o resultado do passo anterior,
|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-\,\frac{i}{\hbar}E_{1}t}\left|E_{1}\right\rangle + e^{-\,\frac{i}{\hbar}E_{2}t}\left|E_{2}\right\rangle\right).

Passo 5

Interpretações úteis (didática, para lembrar na prova).
  • A norma do estado é preservada no tempo. Verificação rápida:
\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle = \frac{1}{2}\big(\langle E_{1}|E_{1}\rangle+\langle E_{2}|E_{2}\rangle\big) = \frac{1}{2}(1+1)=1,
pois os fatores de fase cancelam quando se multiplica por seus conjugados e \langle E_{1}|E_{2}\rangle=0. Portanto o estado permanece normalizado.
  • As probabilidades de medir E_{1} ou E_{2} permanecem constantes no tempo: |\langle E_{1}|\psi(t)\rangle|^{2}=1/2 e |\langle E_{2}|\psi(t)\rangle|^{2}=1/2.
  • O que muda com o tempo é a fase relativa entre os termos. Pode-se escrever, extraindo uma fase global (sem significado físico):
|\psi(t)\rangle = e^{-\,\frac{i}{\hbar}E_{1}t}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|E_{1}\right\rangle + e^{-\,\frac{i}{\hbar}(E_{2}-E_{1})t}\left|E_{2}\right\rangle\right).
A fase global e^{-\,\frac{i}{\hbar}E_{1}t} não afeta probabilidades, mas a fase relativa e^{-\,\frac{i}{\hbar}(E_{2}-E_{1})t} pode causar interferência em observáveis que não comutam com H.

Resposta

|\psi(t)\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-\,\frac{i}{\hbar}E_{1}t}\left|E_{1}\right\rangle+e^{-\,\frac{i}{\hbar}E_{2}t}\left|E_{2}\right\rangle\right)

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