Considere o estado
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \downarrow\rangle-|\downarrow \uparrow\rangle)
(a) Verifique a normalização.
(b) Explique por que este é um estado emaranhado.

Passo 1

O enunciado dá o estado
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\bigr)
e pede duas coisas:
  • (a) Verificar a normalização do estado (isto é, mostrar que a norma é 1).
  • (b) Explicar por que este estado é emaranhado (ou seja, por que não pode ser escrito como produto tensorial de um estado do primeiro spin por um estado do segundo spin).
Informações relevantes que temos explicitamente:
  • A base usada é a base canônica do espaço de dois spins: \{|\uparrow\uparrow\rangle,|\uparrow\downarrow\rangle,|\downarrow\uparrow\rangle,|\downarrow\downarrow\rangle\}.
  • Essa base é ortonormal, isto é, por exemplo \langle\uparrow|\uparrow\rangle=1, \langle\uparrow|\downarrow\rangle=0 e, para estados tensoriais, \langle a\otimes b|c\otimes d\rangle=\langle a|c\rangle\langle b|d\rangle.

Passo 2

Pequena aula sobre como verificar normalização em produto tensorial (fórmula e ideias).
  • Se |\varphi\rangle = \sum_{ij} c_{ij} |i\rangle\otimes|j\rangle numa base ortonormal, então a norma ao quadrado é
\langle\varphi|\varphi\rangle=\sum_{ij}|c_{ij}|^{2},
porque os produtos cruzados entre vetores ortonormais são zero.
  • Aqui, os coeficientes c_{ij} são os números que aparecem multiplicando cada base | \uparrow\uparrow \rangle,\dots.
    Vou aplicar essa ideia ao nosso estado.

Passo 3

Cálculo explícito da normalização (passo a passo, expandindo produtos e usando ortonormalidade).
Começo escrevendo o escalar \langle\psi|\psi\rangle e usando linearidade:
\langle\psi|\psi\rangle=\frac{1}{2}\bigl(\langle\uparrow\downarrow|-\langle\downarrow\uparrow|\bigr)\bigl(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\bigr).
Agora distribuo (multiplico termo a termo):
\langle\psi|\psi\rangle=\frac{1}{2}\Bigl(\langle\uparrow\downarrow|\uparrow\downarrow\rangle -\langle\uparrow\downarrow|\downarrow\uparrow\rangle -\langle\downarrow\uparrow|\uparrow\downarrow\rangle +\langle\downarrow\uparrow|\downarrow\uparrow\rangle\Bigr).
Usando ortonormalidade da base:
\langle\uparrow\downarrow|\uparrow\downarrow\rangle=1,\qquad \langle\downarrow\uparrow|\downarrow\uparrow\rangle=1,
e os produtos cruzados são zero:
\langle\uparrow\downarrow|\downarrow\uparrow\rangle=0,\qquad \langle\downarrow\uparrow|\uparrow\downarrow\rangle=0.
Substituindo esses valores:
\langle\psi|\psi\rangle=\frac{1}{2}\bigl(1-0-0+1\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 2=1.
Portanto o estado está normalizado.

Passo 4

Pequeno comentário didático sobre o que esse resultado significa.
  • Normalizar um estado significa que a probabilidade total de todos os resultados possíveis de uma medição é 1. Mostrar \langle\psi|\psi\rangle=1 é exatamente isso.
  • Bom trabalho: já resolvemos (a). Agora vamos entender (b): por que esse estado é emaranhado.

Passo 5

Definição prática de estado separável (não emaranhado) versus emaranhado.
  • Um estado puro do sistema composto “spin 1 + spin 2” é separável (produto) se existir vetores |\phi_1\rangle e |\phi_2\rangle tais que
|\psi\rangle = |\phi_1\rangle\otimes|\phi_2\rangle.
  • Em termos de componentes na base canônica, um estado separável tem a forma
(\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle)\otimes(\gamma|\uparrow\rangle+\delta|\downarrow\rangle) =\alpha\gamma|\uparrow\uparrow\rangle+\alpha\delta|\uparrow\downarrow\rangle+\beta\gamma|\downarrow\uparrow\rangle+\beta\delta|\downarrow\downarrow\rangle.
A estratégia óbvia para provar emaranhamento: assumir que o estado dado pode ser escrito nesse produto e chegar a uma contradição com os coeficientes conhecidos.

Passo 6

Tentativa de escrever o estado como produto e derivar contradição (prova por contradição).
Escrevo o produto geral com coeficientes complexos \alpha,\beta,\gamma,\delta (alguns podem ser zero), e igualo aos coeficientes do nosso estado.
O nosso estado tem coeficientes (na ordem |\uparrow\uparrow\rangle,|\uparrow\downarrow\rangle,|\downarrow\uparrow\rangle,|\downarrow\downarrow\rangle):
(0,\; \tfrac{1}{\sqrt{2}},\; -\tfrac{1}{\sqrt{2}},\; 0).
Igualando, obtemos o sistema
\alpha\gamma = 0, \qquad \alpha\delta = \tfrac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \beta\gamma = -\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \beta\delta = 0.
Agora analiso as possibilidades:
  • Da primeira equação \alpha\gamma=0 vem que ou \alpha=0 ou \gamma=0.
    • Se \alpha=0, então a segunda equação dá \alpha\delta=0, mas precisamos que \alpha\delta=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\neq 0. Contradição. Logo \alpha\neq 0.
    • Portanto \gamma=0.
  • Mas se \gamma=0, então a terceira equação \beta\gamma=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \beta\cdot 0=0, que contradiz -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\neq 0. Contradição também.
    Assim não há escolha (nem \alpha=0 nem \gamma=0) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
    Uma análise idêntica usando \beta\delta=0 e \alpha\delta=\tfrac{1}{\sqrt{2}} leva à mesma impossibilidade. Conclusão: não existem \alpha,\beta,\gamma,\delta que façam o produto igual ao estado dado.
Portanto o estado não é separável; é emaranhado.

Passo 7

Outra maneira (complementar) de ver o emaranhamento — usando matriz densidade reduzida (uma segunda “aula rápida”).
  • Para um estado puro composto |\psi\rangle, se a redução do primeiro subsistema
\rho_1=\operatorname{Tr}_2\bigl(|\psi\rangle\langle\psi|\bigr)
for uma matriz pura (i.e. \rho_1^2=\rho_1 e \operatorname{Tr}\rho_1^2=1), então |\psi\rangle é separável; se \rho_1 for mista ( \operatorname{Tr}\rho_1^2<1), então |\psi\rangle é emaranhado.
  • Para o nosso estado (o chamado singlete) calcula-se facilmente
\rho_1=\frac{1}{2}\bigl(|\uparrow\rangle\langle\uparrow|+|\downarrow\rangle\langle\downarrow|\bigr)=\frac{1}{2}\mathbb{I}.
Isto é um estado misto (pois \operatorname{Tr}\rho_1^2=\tfrac{1}{2}<1). Portanto |\psi\rangle é emaranhado. Observação física: cada partícula isolada parece estar numa mistura totalmente aleatória, mas juntas elas têm correlações perfeitas — marca registrada do emaranhamento.

Passo 8

Interpretação física curta e motivadora (prática para prova).
  • Esse estado é o singlete de duas partículas-1/2: é um estado maximalmente emaranhado. Se medir S_z (spin ao longo de z) no primeiro qubit e obter \uparrow, então o segundo com certeza dará \downarrow; se o primeiro der \downarrow, o segundo dará \uparrow. As medições são perfeitamente anticorrelacionadas.
  • Em provas: mostrar que não é produto (como feito) é a maneira direta e rápida; mencionar a redução mista dá uma justificativa alternativa e elegante.

Resposta

(a) \langle\psi|\psi\rangle=1, logo o estado está normalizado.
(b) O estado é emaranhado: não existe decomposição |\psi\rangle=|\phi_1\rangle\otimes|\phi_2\rangle (a tentativa de igualar coeficientes leva a contradição). Alternativamente, a densidade reduzida de uma partícula é \rho_1=\tfrac{1}{2}\mathbb{I} (mista), o que também implica emaranhamento.

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