Considere o estado
(a) Verifique a normalização.
(b) Explique por que este é um estado emaranhado.
(b) Explique por que este é um estado emaranhado.
Passo 1
O enunciado dá o estado
e pede duas coisas:
- (a) Verificar a normalização do estado (isto é, mostrar que a norma é
). - (b) Explicar por que este estado é emaranhado (ou seja, por que não pode ser escrito como produto tensorial de um estado do primeiro spin por um estado do segundo spin).
Informações relevantes que temos explicitamente:
- A base usada é a base canônica do espaço de dois spins:
. - Essa base é ortonormal, isto é, por exemplo
, e, para estados tensoriais, .
Passo 2
Pequena aula sobre como verificar normalização em produto tensorial (fórmula e ideias).
- Se
numa base ortonormal, então a norma ao quadrado é
porque os produtos cruzados entre vetores ortonormais são zero.
- Aqui, os coeficientes
são os números que aparecem multiplicando cada base .
Vou aplicar essa ideia ao nosso estado.
Passo 3
Cálculo explícito da normalização (passo a passo, expandindo produtos e usando ortonormalidade).
Começo escrevendo o escalar e usando linearidade:
Começo escrevendo o escalar
Agora distribuo (multiplico termo a termo):
Usando ortonormalidade da base:
e os produtos cruzados são zero:
Substituindo esses valores:
Portanto o estado está normalizado.
Passo 4
Pequeno comentário didático sobre o que esse resultado significa.
- Normalizar um estado significa que a probabilidade total de todos os resultados possíveis de uma medição é
. Mostrar é exatamente isso. - Bom trabalho: já resolvemos (a). Agora vamos entender (b): por que esse estado é emaranhado.
Passo 5
Definição prática de estado separável (não emaranhado) versus emaranhado.
- Um estado puro do sistema composto “spin 1 + spin 2” é separável (produto) se existir vetores
e tais que
- Em termos de componentes na base canônica, um estado separável tem a forma
A estratégia óbvia para provar emaranhamento: assumir que o estado dado pode ser escrito nesse produto e chegar a uma contradição com os coeficientes conhecidos.
Passo 6
Tentativa de escrever o estado como produto e derivar contradição (prova por contradição).
Escrevo o produto geral com coeficientes complexos (alguns podem ser zero), e igualo aos coeficientes do nosso estado.
O nosso estado tem coeficientes (na ordem ):
Escrevo o produto geral com coeficientes complexos
O nosso estado tem coeficientes (na ordem
Igualando, obtemos o sistema
Agora analiso as possibilidades:
- Da primeira equação
vem que ou ou . - Se
, então a segunda equação dá , mas precisamos que . Contradição. Logo . - Portanto
.
- Se
- Mas se
, então a terceira equação dá , que contradiz . Contradição também.
Assim não há escolha (nemnem ) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Uma análise idêntica usandoe leva à mesma impossibilidade. Conclusão: não existem que façam o produto igual ao estado dado.
Portanto o estado não é separável; é emaranhado.
Passo 7
Outra maneira (complementar) de ver o emaranhamento — usando matriz densidade reduzida (uma segunda “aula rápida”).
- Para um estado puro composto
, se a redução do primeiro subsistema
for uma matriz pura (i.e.
e
), então
é separável; se
for mista (
), então
é emaranhado.
- Para o nosso estado (o chamado singlete) calcula-se facilmente
Isto é um estado misto (pois
). Portanto
é emaranhado. Observação física: cada partícula isolada parece estar numa mistura totalmente aleatória, mas juntas elas têm correlações perfeitas — marca registrada do emaranhamento.
Passo 8
Interpretação física curta e motivadora (prática para prova).
- Esse estado é o singlete de duas partículas-1/2: é um estado maximalmente emaranhado. Se medir
(spin ao longo de ) no primeiro qubit e obter , então o segundo com certeza dará ; se o primeiro der , o segundo dará . As medições são perfeitamente anticorrelacionadas. - Em provas: mostrar que não é produto (como feito) é a maneira direta e rápida; mencionar a redução mista dá uma justificativa alternativa e elegante.
Resposta
(a)
, logo o estado está normalizado.
(b) O estado é emaranhado: não existe decomposição (a tentativa de igualar coeficientes leva a contradição). Alternativamente, a densidade reduzida de uma partícula é
(mista), o que também implica emaranhamento.
(b) O estado é emaranhado: não existe decomposição