Mostre que, se
H\left|E_{n}\right\rangle=E_{n}\left|E_{n}\right\rangle
então
|\psi(t)\rangle=e^{-i E_{n} t / \hbar}\left|E_{n}\right\rangle
é solução da equação de Schrödinger.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação própria do Hamiltoniano H e pede para verificar que certa função temporal é solução da equação de Schrödinger. Dados e pedido, explicitados com cuidado:
  • Dado: \;H\left|E_{n}\right\rangle=E_{n}\left|E_{n}\right\rangle. Ou seja, \left|E_{n}\right\rangle é um autovetor (estado próprio) de H com autovalor (energia) E_{n}.
  • Pede-se mostrar que a função de estado dependente do tempo |\psi(t)\rangle = e^{-i E_{n} t / \hbar}\left|E_{n}\right\ranglesatisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, que é i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle.
Observação importante (assunção): para este raciocínio toma-se H independente do tempo, de modo que a equação de Schrödinger acima vale sem termos adicionais.

Passo 2

Lembrete didático sobre a equação de Schrödinger dependente do tempo:
  • A equação de Schrödinger dependente do tempo é a regra que determina a evolução temporal dos estados quânticos. Em unidades usuais ela é i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle,onde:
    • \;i é a unidade imaginária,
    • \;\hbar é a constante de Planck reduzida,
    • \;|\psi(t)\rangle é o vetor de estado que depende de t,
    • \;H é o operador Hamiltoniano (auto-adjunto) que representa a energia total do sistema.
  • Para verificar que uma dada função é solução, basta calcular o lado esquerdo (derivada temporal multiplicada por i\hbar) e o lado direito ( H atuando sobre a função) e checar se são iguais.

Passo 3

Vamos trabalhar com a função proposta. Trate a fator exponencial e^{-iE_n t/\hbar} como um escalar complexo que depende de t e \left|E_{n}\right\rangle como um vetor constante (no sentido de não depender explicitamente de t). Pelo enunciado, \left|E_{n}\right\rangle não depende de t. Então podemos usar regras simples:
  • Derivada temporal de um produto de um escalar que depende de t por um vetor constante é a derivada do escalar vezes o vetor.
  • A ação de H sobre um escalar vezes um vetor é o escalar vezes H atuando no vetor (linearidade do operador).

Passo 4

Calcule a derivada temporal do estado proposto. Aplicando a regra da derivada:
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{-iE_n t/\hbar}\left|E_{n}\right\rangle\bigr) = \left(\frac{d}{dt}e^{-iE_n t/\hbar}\right)\left|E_{n}\right\rangle.
Agora calcule a derivada do escalar exponencial:
\frac{d}{dt}e^{-iE_n t/\hbar} = \left(-\frac{iE_n}{\hbar}\right)e^{-iE_n t/\hbar}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = -\frac{iE_n}{\hbar}\,e^{-iE_n t/\hbar}\left|E_{n}\right\rangle.
Multiplicando por i\hbar (o lado esquerdo da equação de Schrödinger) obtemos:
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = i\hbar\left(-\frac{iE_n}{\hbar}\right)e^{-iE_n t/\hbar}\left|E_{n}\right\rangle = E_n\,e^{-iE_n t/\hbar}\left|E_{n}\right\rangle.
(Observe que i\hbar\cdot(-iE_n/\hbar)=E_n, pois i\cdot(-i)=1 e os \hbar se cancelam.)

Passo 5

Calcule o lado direito da equação de Schrödinger aplicando H ao estado proposto. Usando a linearidade de H e a equação própria dada:
H|\psi(t)\rangle = H\bigl(e^{-iE_n t/\hbar}\left|E_{n}\right\rangle\bigr) = e^{-iE_n t/\hbar}\,H\left|E_{n}\right\rangle = e^{-iE_n t/\hbar}\,E_n\left|E_{n}\right\rangle = E_n\,e^{-iE_n t/\hbar}\left|E_{n}\right\rangle.
Aqui foi usado explicitamente que peguei o autovalor e autovetor da igualdade H\left|E_{n}\right\rangle=E_{n}\left|E_{n}\right\rangle dada no enunciado.

Passo 6

Compare os dois lados:
  • Lado esquerdo (calculado no Passo 4): \;i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = E_n\,e^{-iE_n t/\hbar}\left|E_{n}\right\rangle.
  • Lado direito (calculado no Passo 5): \;H|\psi(t)\rangle = E_n\,e^{-iE_n t/\hbar}\left|E_{n}\right\rangle.
    Como os dois são iguais para todo t, concluímos que a função proposta satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 7

Comentários didáticos e físicos rápidos (úteis para a prova):
  • A solução encontrada é chamada de estado estacionário: o fator temporal é apenas um fator de fase global e^{-iE_n t/\hbar}. Quantidades observáveis construídas como valores esperados \langle\psi(t)|A|\psi(t)\rangle não mudam no tempo porque a fase global cancela.
  • A demonstração funcionou porque H foi assumido independente do tempo e porque \left|E_n\right\rangle é um autovetor de H. Se H dependesse de t ou se o estado não fosse autovetor, seria necessário um tratamento mais geral.
  • No instante inicial t=0 recupera-se |\psi(0)\rangle=\left|E_{n}\right\rangle, ou seja, a evolução temporal apenas multiplica o estado inicial por uma fase.

Resposta

|\psi(t)\rangle=e^{-i E_{n} t / \hbar}\left|E_{n}\right\rangle

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