Mostre que, se
então
é solução da equação de Schrödinger.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação própria do Hamiltoniano
e pede para verificar que certa função temporal é solução da equação de Schrödinger. Dados e pedido, explicitados com cuidado:
- Dado:
. Ou seja, é um autovetor (estado próprio) de com autovalor (energia) . - Pede-se mostrar que a função de estado dependente do tempo
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, que é
Observação importante (assunção): para este raciocínio toma-se
independente do tempo, de modo que a equação de Schrödinger acima vale sem termos adicionais.
Passo 2
Lembrete didático sobre a equação de Schrödinger dependente do tempo:
- A equação de Schrödinger dependente do tempo é a regra que determina a evolução temporal dos estados quânticos. Em unidades usuais ela é
onde: -
é a unidade imaginária, -
é a constante de Planck reduzida, -
é o vetor de estado que depende de , -
é o operador Hamiltoniano (auto-adjunto) que representa a energia total do sistema.
-
- Para verificar que uma dada função é solução, basta calcular o lado esquerdo (derivada temporal multiplicada por
) e o lado direito ( atuando sobre a função) e checar se são iguais.
Passo 3
Vamos trabalhar com a função proposta. Trate a fator exponencial
como um escalar complexo que depende de
e
como um vetor constante (no sentido de não depender explicitamente de
). Pelo enunciado,
não depende de
. Então podemos usar regras simples:
- Derivada temporal de um produto de um escalar que depende de
por um vetor constante é a derivada do escalar vezes o vetor. - A ação de
sobre um escalar vezes um vetor é o escalar vezes atuando no vetor (linearidade do operador).
Passo 4
Calcule a derivada temporal do estado proposto. Aplicando a regra da derivada:
Agora calcule a derivada do escalar exponencial:
Portanto
Multiplicando por
(o lado esquerdo da equação de Schrödinger) obtemos:
(Observe que
, pois
e os
se cancelam.)
Passo 5
Calcule o lado direito da equação de Schrödinger aplicando
ao estado proposto. Usando a linearidade de
e a equação própria dada:
Aqui foi usado explicitamente que peguei o autovalor e autovetor da igualdade
dada no enunciado.
Passo 6
Compare os dois lados:
- Lado esquerdo (calculado no Passo 4):
- Lado direito (calculado no Passo 5):
Como os dois são iguais para todo, concluímos que a função proposta satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 7
Comentários didáticos e físicos rápidos (úteis para a prova):
- A solução encontrada é chamada de estado estacionário: o fator temporal é apenas um fator de fase global
. Quantidades observáveis construídas como valores esperados não mudam no tempo porque a fase global cancela. - A demonstração funcionou porque
foi assumido independente do tempo e porque é um autovetor de . Se dependesse de ou se o estado não fosse autovetor, seria necessário um tratamento mais geral. - No instante inicial
recupera-se , ou seja, a evolução temporal apenas multiplica o estado inicial por uma fase.