Mostre que a normalização do estado é preservada no tempo.
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que a normalização de um estado quântico é preservada no tempo. Em outras palavras, se
é o vetor de estado no instante
e está normalizado em algum instante inicial, então a magnitude
permanece constante ao longo do tempo.
Informações/pressupostos que vamos usar (estão implícitos no enunciado):
- Existe um vetor de estado
que depende suavemente do tempo. - A evolução temporal é dada pela equação de Schrödinger (a forma diferencial usual), com um Hamiltoniano
que é um operador Hermitiano (ou seja, ). - Partimos de uma normalização inicial conhecida, por exemplo
.
Passo 2
Definição do que vamos controlar: a quantidade cuja conservação queremos provar é a norma ao quadrado do estado, que chamamos
Explicando devagar:
é o produto interno do vetor
com ele mesmo; é um número complexo que, para um estado físico, deve ser real e não negativo. A normalização padrão exige
. Mostrar que a normalização é preservada significa mostrar que
para todo
.
Passo 3
Escrever a equação de evolução e sua adjunta. A equação de Schrödinger dependente do tempo (forma de primeira ordem) é
onde
é a constante de Planck reduzida,
é o vetor-estado e
é o Hamiltoniano (assumido Hermitiano). Tomando o conjugado adjunto (o “bra”) da equação acima obtemos
Como estamos assumindo
, isso simplifica para
Passo 4
Calcular a derivada do produto interno usando a regra do produto (produto entre um bra e um ket). Aplicando a derivada a
dá
Aqui usei que a derivada do produto interno segue a regra usual: derivada do primeiro vezes o segundo mais primeiro vezes derivada do segundo.
Passo 5
Substituir as derivadas usando a equação de Schrödinger e sua adjunta. Da equação adjunta temos
e da equação direta temos
Substituindo essas expressões em
obtemos
Passo 6
Simplificar a expressão e concluir. As duas parcelas na expressão anterior são opostas, portanto se cancelam e ficamos com
Isso mostra que
é constante no tempo. Em particular, se
num instante inicial
, então para todo
vale
. Ou seja: a normalização do estado é preservada durante a evolução gerada por um Hamiltoniano Hermitiano.
Observação rápida e intuitiva (sem cálculo): a evolução por Schrödinger é unitária — formalmente, se
não depende do tempo, a solução é
e o operador exponencial é unitário porque
é Hermitiano. Operadores unitários preservam produtos internos. Para
dependente de
a evolução é dada por um operador unitário ordenado no tempo; o resultado (preservação da norma) continua válido.