Mostre que a normalização do estado é preservada no tempo.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que a normalização de um estado quântico é preservada no tempo. Em outras palavras, se |\psi(t)\rangle é o vetor de estado no instante t e está normalizado em algum instante inicial, então a magnitude \langle\psi(t)|\psi(t)\rangle permanece constante ao longo do tempo.
Informações/pressupostos que vamos usar (estão implícitos no enunciado):
  • Existe um vetor de estado |\psi(t)\rangle que depende suavemente do tempo.
  • A evolução temporal é dada pela equação de Schrödinger (a forma diferencial usual), com um Hamiltoniano H que é um operador Hermitiano (ou seja, H^\dagger = H).
  • Partimos de uma normalização inicial conhecida, por exemplo \langle\psi(t_0)|\psi(t_0)\rangle = 1.

Passo 2

Definição do que vamos controlar: a quantidade cuja conservação queremos provar é a norma ao quadrado do estado, que chamamos
N(t)=\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle.
Explicando devagar: \langle\psi(t)|\psi(t)\rangle é o produto interno do vetor |\psi(t)\rangle com ele mesmo; é um número complexo que, para um estado físico, deve ser real e não negativo. A normalização padrão exige N(t)=1. Mostrar que a normalização é preservada significa mostrar que \dfrac{d}{dt}N(t)=0 para todo t.

Passo 3

Escrever a equação de evolução e sua adjunta. A equação de Schrödinger dependente do tempo (forma de primeira ordem) é
i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H\,|\psi(t)\rangle,
onde \hbar é a constante de Planck reduzida, |\psi(t)\rangle é o vetor-estado e H é o Hamiltoniano (assumido Hermitiano). Tomando o conjugado adjunto (o “bra”) da equação acima obtemos
-i\hbar\frac{d}{dt}\langle\psi(t)| = \langle\psi(t)|\,H^\dagger.
Como estamos assumindo H^\dagger = H, isso simplifica para
-i\hbar\frac{d}{dt}\langle\psi(t)| = \langle\psi(t)|\,H.

Passo 4

Calcular a derivada do produto interno usando a regra do produto (produto entre um bra e um ket). Aplicando a derivada a N(t)
\frac{d}{dt}N(t)=\frac{d}{dt}\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle = \left(\frac{d}{dt}\langle\psi(t)|\right)|\psi(t)\rangle + \langle\psi(t)|\left(\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle\right).
Aqui usei que a derivada do produto interno segue a regra usual: derivada do primeiro vezes o segundo mais primeiro vezes derivada do segundo.

Passo 5

Substituir as derivadas usando a equação de Schrödinger e sua adjunta. Da equação adjunta temos
\frac{d}{dt}\langle\psi(t)| = \frac{i}{\hbar}\langle\psi(t)|H,
e da equação direta temos
\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = -\frac{i}{\hbar}H|\psi(t)\rangle.
Substituindo essas expressões em \dfrac{d}{dt}N(t) obtemos
\frac{d}{dt}N(t) = \frac{i}{\hbar}\langle\psi(t)|H|\psi(t)\rangle - \frac{i}{\hbar}\langle\psi(t)|H|\psi(t)\rangle.

Passo 6

Simplificar a expressão e concluir. As duas parcelas na expressão anterior são opostas, portanto se cancelam e ficamos com
\frac{d}{dt}N(t)=0.
Isso mostra que N(t) é constante no tempo. Em particular, se N(t_0)=1 num instante inicial t_0, então para todo t vale N(t)=1. Ou seja: a normalização do estado é preservada durante a evolução gerada por um Hamiltoniano Hermitiano.
Observação rápida e intuitiva (sem cálculo): a evolução por Schrödinger é unitária — formalmente, se H não depende do tempo, a solução é |\psi(t)\rangle = e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle e o operador exponencial é unitário porque H é Hermitiano. Operadores unitários preservam produtos internos. Para H(t) dependente de t a evolução é dada por um operador unitário ordenado no tempo; o resultado (preservação da norma) continua válido.

Resposta

\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=\langle\psi(t_0)|\psi(t_0)\rangle, portanto se \langle\psi(t_0)|\psi(t_0)\rangle=1 então \langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=1 para todo t.

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