Considere as bases
\begin{aligned} & \left|b_{1}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|a_{1}\right\rangle+\left|a_{2}\right\rangle\right) \\\ & \left|b_{2}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|a_{1}\right\rangle-\left|a_{2}\right\rangle\right) \end{aligned}
(a) Expresse \left|a_{1}\right\rangle na base \left\{\left|b_{1}\right\rangle,\left|b_{2}\right\rangle\right\}.
(b) Determine \left|\left\langle b_{1} \mid a_{1}\right\rangle\right|^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado): \left|b_{1}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|a_{1}\right\rangle+\left|a_{2}\right\rangle\right), \qquad \left|b_{2}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|a_{1}\right\rangle-\left|a_{2}\right\rangle\right).
  • Perguntas:
    (a) Expressar \left|a_{1}\right\rangle na base \{\left|b_{1}\right\rangle,\left|b_{2}\right\rangle\}.
    (b) Determinar \left|\left\langle b_{1}\mid a_{1}\right\rangle\right|^{2}.
Observação: é padrão em notação de mecânica quântica que \{\left|a_{1}\right\rangle,\left|a_{2}\right\rangle\} forma uma base ortonormal. Vou usar isso (ou seja, \langle a_i|a_j\rangle=\delta_{ij}) — se isso não for válido no problema original, avisaria, mas normalmente é o caso.

Passo 2

Verificar que \{\left|b_{1}\right\rangle,\left|b_{2}\right\rangle\} também é uma base ortonormal (isso justifica usar projeções com produtos internos para obter coeficientes).
Calcular \langle b_{1}|b_{1}\rangle:
\langle b_{1}|b_{1}\rangle=\frac{1}{2}\big(\langle a_{1}|+\langle a_{2}|\big)\big(|a_{1}\rangle+|a_{2}\rangle\big) =\frac{1}{2}\big(\langle a_{1}|a_{1}\rangle+\langle a_{1}|a_{2}\rangle+\langle a_{2}|a_{1}\rangle+\langle a_{2}|a_{2}\rangle\big).
Usando \langle a_i|a_j\rangle=\delta_{ij} obtemos
\langle b_{1}|b_{1}\rangle=\frac{1}{2}(1+0+0+1)=1.
Calcular \langle b_{1}|b_{2}\rangle:
\langle b_{1}|b_{2}\rangle=\frac{1}{2}\big(\langle a_{1}|+\langle a_{2}|\big)\big(|a_{1}\rangle-|a_{2}\rangle\big) =\frac{1}{2}(1-0+0-1)=0.
Analogamente \langle b_{2}|b_{2}\rangle=1. Portanto \{\left|b_{1}\right\rangle,\left|b_{2}\right\rangle\} é ortonormal.

Passo 3

Para expressar \left|a_{1}\right\rangle na base \{\left|b_{1}\right\rangle,\left|b_{2}\right\rangle\} podemos inverter as relações dadas. Soma as duas equações dadas:
\left|b_{1}\right\rangle+\left|b_{2}\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|a_{1}\rangle+|a_{2}\rangle\big)+\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|a_{1}\rangle-|a_{2}\rangle\big) =\frac{2}{\sqrt{2}}\,|a_{1}\rangle.
Assim
|a_{1}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|b_{1}\rangle+|b_{2}\rangle\big).
Explicação didática curta: isto corresponde a inverter uma transformação linear. A combinação linear das duas expressões elimina |a_{2}\rangle e isola |a_{1}\rangle.

Passo 4

Interpretação e cálculo dos coeficientes na base \{|b_i\rangle\}.
Qualquer vetor |\psi\rangle escrito em uma base ortonormal \{|b_i\rangle\} tem expansão
|\psi\rangle=\sum_i c_i |b_i\rangle,
onde os coeficientes são dados por projeção:
c_i=\langle b_i|\psi\rangle.
No nosso caso, a expressão do passo anterior já deu diretamente os coeficientes de |a_{1}\rangle na base \{|b_1\rangle,|b_2\rangle\}: ambos são \tfrac{1}{\sqrt{2}}. Para confirmar calculamos a projeção:
\langle b_{1}|a_{1}\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\langle a_{1}|+\langle a_{2}|\big)\,|a_{1}\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(1+0)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
E de modo análogo \langle b_{2}|a_{1}\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Calcular \left|\left\langle b_{1}\mid a_{1}\right\rangle\right|^{2}.
Temos \langle b_{1}|a_{1}\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. O módulo ao quadrado é
\left|\langle b_{1}|a_{1}\rangle\right|^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
Significado físico (curta motivação): em linguagem de mecânica quântica, esse número é a probabilidade de obter o estado |b_{1}\rangle ao medir um sistema que está no estado |a_{1}\rangle.

Resposta

|a_{1}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big(|b_{1}\rangle+|b_{2}\rangle\big)
\left|\langle b_{1}\mid a_{1}\rangle\right|^{2}=\dfrac{1}{2}

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