Considere as bases
(a) Expresse
na base
.
(b) Determine
.
(b) Determine
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (pegos do enunciado):
- Perguntas:
(a) Expressarna base .
(b) Determinar.
Observação: é padrão em notação de mecânica quântica que
forma uma base ortonormal. Vou usar isso (ou seja,
) — se isso não for válido no problema original, avisaria, mas normalmente é o caso.
Passo 2
Verificar que
também é uma base ortonormal (isso justifica usar projeções com produtos internos para obter coeficientes).
Calcular
:
Usando
obtemos
Calcular
:
Analogamente
. Portanto
é ortonormal.
Passo 3
Para expressar
na base
podemos inverter as relações dadas. Soma as duas equações dadas:
Assim
Explicação didática curta: isto corresponde a inverter uma transformação linear. A combinação linear das duas expressões elimina
e isola
.
Passo 4
Interpretação e cálculo dos coeficientes na base
.
Qualquer vetor
escrito em uma base ortonormal
tem expansão
onde os coeficientes são dados por projeção:
No nosso caso, a expressão do passo anterior já deu diretamente os coeficientes de
na base
: ambos são
. Para confirmar calculamos a projeção:
E de modo análogo
.
Passo 5
Calcular
.
Temos
. O módulo ao quadrado é
Significado físico (curta motivação): em linguagem de mecânica quântica, esse número é a probabilidade de obter o estado
ao medir um sistema que está no estado
.