Considere o estado
(a) Verifique a normalização.
(b) Determine as probabilidades de medir ↑ e ↓.
(b) Determine as probabilidades de medir ↑ e ↓.
Passo 1
O enunciado dá o estado quântico
e pede duas coisas:
- (a) verificar se o estado está normalizado;
- (b) determinar as probabilidades de medir
e .
Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores
e formam a base de medida (normalmente assumida ortonormal), ou seja , e . - Os coeficientes (amplitudes) do estado são
para e para .
Passo 2
Conceito de normalização (aula rápida): um estado quântico
está normalizado quando o produto interno
vale 1. Em uma base ortonormal, se
então
Aqui
são amplitudes complexas;
é o módulo ao quadrado (produto do complexo pela sua conjugada). Essa soma deve ser
para o estado estar normalizado. Isso é importante porque as probabilidades de todos os resultados possíveis somam 1.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao estado dado: os coeficientes são reais, então o módulo ao quadrado é simplesmente o quadrado.
Calcular cada termo:
Calcular cada termo:
Somando-os para obter
:
Passo 4
Continuando o cálculo:
Portanto o valor do produto interno é
. Isso significa que o estado
está normalizado.
Passo 5
Conceito de probabilidade (Born rule): se um estado está escrito na base ortonormal
como
, então a probabilidade de obter o resultado associado a
numa medida nessa base é
Novamente, se
for complexo, usa-se o módulo ao quadrado; se for real, é o quadrado simples.
Passo 6
Aplicando isso aos coeficientes do estado: a amplitude para
é
, logo
A amplitude para
é
, logo
Passo 7
Verificação rápida de consistência: as probabilidades somam
como esperado para um conjunto completo de resultados.
Resposta
a) Sim, o estado está normalizado.
b)
b)