Considere o estado
|\psi\rangle=\sqrt{\frac{3}{4}}|\uparrow\rangle+\frac{1}{2}|\downarrow\rangle
(a) Verifique a normalização.
(b) Determine as probabilidades de medir ↑ e ↓.

Passo 1

O enunciado dá o estado quântico
|\psi\rangle=\sqrt{\frac{3}{4}}|\uparrow\rangle+\frac{1}{2}|\downarrow\rangle
e pede duas coisas:
  • (a) verificar se o estado está normalizado;
  • (b) determinar as probabilidades de medir |\uparrow\rangle e |\downarrow\rangle.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores |\uparrow\rangle e |\downarrow\rangle formam a base de medida (normalmente assumida ortonormal), ou seja \langle\uparrow|\uparrow\rangle=1, \langle\downarrow|\downarrow\rangle=1 e \langle\uparrow|\downarrow\rangle=0.
  • Os coeficientes (amplitudes) do estado são \sqrt{\tfrac{3}{4}} para |\uparrow\rangle e \tfrac{1}{2} para |\downarrow\rangle.

Passo 2

Conceito de normalização (aula rápida): um estado quântico |\psi\rangle está normalizado quando o produto interno \langle\psi|\psi\rangle vale 1. Em uma base ortonormal, se
|\psi\rangle=\sum_{i} c_i |i\rangle,
então
\langle\psi|\psi\rangle=\sum_i |c_i|^2.
Aqui c_i são amplitudes complexas; |c_i|^2 é o módulo ao quadrado (produto do complexo pela sua conjugada). Essa soma deve ser 1 para o estado estar normalizado. Isso é importante porque as probabilidades de todos os resultados possíveis somam 1.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao estado dado: os coeficientes são reais, então o módulo ao quadrado é simplesmente o quadrado.
Calcular cada termo:
\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^{2}=\frac{3}{4}, \qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.
Somando-os para obter \langle\psi|\psi\rangle:
\langle\psi|\psi\rangle=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}.

Passo 4

Continuando o cálculo:
\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1.
Portanto o valor do produto interno é 1. Isso significa que o estado |\psi\rangle está normalizado.

Passo 5

Conceito de probabilidade (Born rule): se um estado está escrito na base ortonormal \{|i\rangle\} como |\psi\rangle=\sum_i c_i|i\rangle, então a probabilidade de obter o resultado associado a |i\rangle numa medida nessa base é
P(i)=|c_i|^2.
Novamente, se c_i for complexo, usa-se o módulo ao quadrado; se for real, é o quadrado simples.

Passo 6

Aplicando isso aos coeficientes do estado: a amplitude para |\uparrow\rangle é \sqrt{\tfrac{3}{4}}, logo
P(\uparrow)=\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^{2}=\frac{3}{4}.
A amplitude para |\downarrow\rangle é \tfrac{1}{2}, logo
P(\downarrow)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência: as probabilidades somam
P(\uparrow)+P(\downarrow)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1,
como esperado para um conjunto completo de resultados.

Resposta

a) Sim, o estado está normalizado.
b) P(\uparrow)=\tfrac{3}{4},\; P(\downarrow)=\tfrac{1}{4}

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