Considere Uma estante possui três prateleiras: superior, central e inferior. Na prateleira de cima estão 3 novelas e 7 contos. Na estante central estão 8 novelas e 6 contos. Na prateleira inferior estão 5 novelas e 9 contos. Uma estante é escolhida aleatoriamente e dela é retirado um livro.
Se for uma novela, qual é a probabilidade de ter sido retirado da prateleira do meio?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o enunciado: temos uma estante com três prateleiras (superior, central e inferior). Cada uma tem um certo número de novelas e contos, e a gente escolhe aleatoriamente uma prateleira e tira um livro dessa prateleira. A pergunta é: se o livro tirado foi uma novela, qual a probabilidade de ele ter vindo da prateleira do meio?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a probabilidade de tirar uma novela em cada prateleira, .
  2. Usar a Lei da Probabilidade Total para achar .
  3. Aplicar o Teorema de Bayes para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos anotar quantos livros existem em cada prateleira e a probabilidade de escolher cada prateleira:
  • Prateleira superior: 3 novelas, 7 contos → total 10 livros → P(sup) = P(meio) = P(inf) = tfrac13.
  • Prateleira central (meio): 8 novelas, 6 contos → total 14 livros → .
  • Prateleira inferior: 5 novelas, 9 contos → total 14 livros → .
    Como a prateleira é escolhida ao acaso entre as três,

Passo 3

Agora, usamos a Lei da Probabilidade Total para achar P(N) = P(sup),P(Nmid sup) + P(meio),P(Nmid meio) + P(inf),P(Nmid inf) , ou seja, a chance de tirar uma novela em geral:
P(N) = tfrac13cdottfrac310 + tfrac13cdottfrac47 + tfrac13cdottfrac514
Substituindo:
P(N) = tfrac110 + tfrac421 + tfrac542 = tfrac21210 + tfrac40210 + tfrac25210 = tfrac86210 = tfrac43105
Vamos calcular passo a passo:
  • .
  • .
  • .
    Somando:

Passo 4

Agora sim, Teorema de Bayes! Queremos
P(meiomid N) = P(meio),P(Nmid meio)P(N)
Já temos cada pedaço:
  • P(meiomid N) = tfrac13 cdot tfrac47tfrac43105 = tfrac421tfrac43105 = tfrac421 times tfrac10543 = 4 times 10521 times 43 = 420903 = 2043 .
  • .
  • .
    Então

Resposta

A probabilidade de ter sido tirado da prateleira do meio, dado que saiu uma novela, é .

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