Um laboratório afirma que um medicamento causa efeitos colaterais numa proporção de 3 em cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmação, outro laboratório escolhe aleatoriamente 5 pacientes nos quais o medicamento é aplicado. Qual é a probabilidade de pelo menos dois tenham efeitos colaterais?. Qual é o número médio de pacientes que se espera que sofram efeitos colaterais se escolher 100 pacientes?

Passo 1

Beleza, vamos recortar o que o enunciado tá pedindo.
Enunciado em poucas palavras:
Um laboratório diz que a chance de ter efeito colateral é de P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^n-k (ou ). A gente pega 5 pacientes e quer saber qual a probabilidade de pelo menos 2 terem esses efeitos. Depois, ainda pergunta: se a gente pegar 100 pacientes, quantos em média a gente espera com efeitos colaterais?
Conteúdo: Distribuição Binomial e Esperança Matemática.
O que precisamos:
  • Saber que o número de pacientes com efeito colateral segue a Binomial .
  • Usar a fórmula da probabilidade binomial
  • Lembrar que a esperança é .

Passo 2

Vamos calcular P(X>=2)=1-P(X<=1)=1-l[P(X=0)+P(X=1)r] para .
Uma dica clássica é usar o complemento:
Isso simplifica porque só temos dois termos pra somar em vez de 5.

Passo 3

Calcular cada pedacinho:
  1. (0.97)^5approx0,8587, 5cdot0.03cdot(0.97)^4approx0,1328
  2. P(X<=1)approx0,8587+0,1328=0,9915,
Numéricas aproximadas:
P(X>=2)=1-0,9915approx0,0085(ou 0,85%)
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Passo 4

Agora o número médio de pacientes com efeito colateral entre 100:
Se E[Y]=100cdot0.03=3 , a esperança é
Ou seja, em média você espera que 3 de cada 100 tenham efeito colateral.

Resposta

Probabilidade de pelo menos 2 em 5: (0,85%).
Número médio em 100 pacientes: 3.

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