Será formada uma comissão de cinco pessoas a partir de um grupo de 20, dos quais três são irmãos; De quantas maneiras a comissão pode ser formada, se pelo menos dois dos irmãos devem estar presentes?

Passo 1

Beleza, recapitulando: a gente tem um grupo de 20 pessoas, entre elas 3 são irmãos. Vamos formar uma comissão de 5 pessoas e a condição é que pelo menos dois desses irmãos estejam na comissão.
Conteúdo: isso é um problema de combinações, onde vamos usar a fórmula
binomnk = n!k!(n-k)!
para contar de quantas formas podemos escolher subgrupos.

Passo 2

Teoria rápida de combinação:
  • Se você tem elementos e quer escolher sem se importar com ordem, o número de jeitos é
  • Aqui vamos aplicar isso em dois casos (porque “pelo menos 2 irmãos” significa ou 2 ou 3).

Passo 3

Caso 1: escolhemos exatamente 2 irmãos.
  1. Escolhas dos irmãos: binom32times binom173 .
  2. Sobram 3 vagas (porque a comissão é de 5), e desses 17 não-irmãos escolhemos 3: .
    Então o total desse caso é

Passo 4

Caso 2: escolhemos os 3 irmãos.
  1. Escolhas dos irmãos: binom33times binom172 .
  2. Sobram 2 vagas e escolhemos 2 entre os 17 não-irmãos: .
    Total desse caso é

Passo 5

Agora somamos os dois casos para obter o total:
binom32binom173 ;+;binom33binom172
Só calcular cada combinação:
  • 3times680 ;+;1times136 = 2040 + 136 = 2176
Então

Resposta

2176 maneiras.

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