Será formada uma comissão de cinco pessoas a partir de um grupo de 20, dos quais três são irmãos; De quantas maneiras a comissão pode ser formada, se pelo menos dois dos irmãos devem estar presentes?
Passo 1
Beleza, recapitulando: a gente tem um grupo de 20 pessoas, entre elas 3 são irmãos. Vamos formar uma comissão de 5 pessoas e a condição é que pelo menos dois desses irmãos estejam na comissão.
Conteúdo: isso é um problema de combinações, onde vamos usar a fórmula
Conteúdo: isso é um problema de combinações, onde vamos usar a fórmula
para contar de quantas formas podemos escolher subgrupos.
Passo 2
Teoria rápida de combinação:
- Se você tem
elementos e quer escolher sem se importar com ordem, o número de jeitos é
- Aqui vamos aplicar isso em dois casos (porque “pelo menos 2 irmãos” significa ou 2 ou 3).
Passo 3
Caso 1: escolhemos exatamente 2 irmãos.
- Escolhas dos irmãos:
. - Sobram 3 vagas (porque a comissão é de 5), e desses 17 não-irmãos escolhemos 3:
.
Então o total desse caso é
Passo 4
Caso 2: escolhemos os 3 irmãos.
- Escolhas dos irmãos:
. - Sobram 2 vagas e escolhemos 2 entre os 17 não-irmãos:
.
Total desse caso é
Passo 5
Agora somamos os dois casos para obter o total:
Só calcular cada combinação:
Então
Resposta
2176 maneiras.