Determine os possíveis valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função de duas variáveis f(x,y)=x3−12xy+y3. Vamos usar cálculo de extremos locais: precisamos achar pontos críticos (onde ∇f=0) e classificar via matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
[ \displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 12y, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -12x + 3y^2 ]
Igualamos a zero para achar pontos críticos:
[ \quad\Longrightarrow\quad
[ \displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 12y, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -12x + 3y^2 ]
Igualamos a zero para achar pontos críticos:
[
Passo 3
Substituindo y em x = (y^2)/4, obtemos x = (x^4/16)/4 = x^4/64. Logo x(x^3/64 - 1)=0, que dá x=0 ou x^3=64 ⇒ x=4. Com isso y=x^2/4 dá y=0 (quando x=0) e y=4 (quando x=4). Os pontos críticos são (0,0) e (4,4).
Passo 4
Agora calculamos a Hessiana (matriz das derivadas de segunda ordem) e a determinante para classificação:
[ \displaystyle f_{xx} = 6x, \quad f_{yy} = 6y, \quad f_{xy}=f_{yx}= -12 ]
[ \displaystyle f_{xx} = 6x, \quad f_{yy} = 6y, \quad f_{xy}=f_{yx}= -12 ]
Passo 5
Em (0,0) temos f_{xx}=0, f_{yy}=0, f_{xy}=-12, então
[ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0 \cdot 0 - (-12)^2 = -144 < 0 ]
Como D<0, (0,0) é um ponto de sela.
[ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0 \cdot 0 - (-12)^2 = -144 < 0 ]
Como D<0, (0,0) é um ponto de sela.
Passo 6
Em (4,4) temos f_{xx}=24, f_{yy}=24, f_{xy}=-12, então
[ D = 24 \cdot 24 - (-12)^2 = 576 - 144 = 432 > 0 ]
Como D>0 e f_{xx}=24>0, (4,4) é um mínimo local. Calculando o valor: f(4,4)=4^3 - 12·4·4 + 4^3 = 64 - 192 + 64 = -64.
Não há nenhum ponto onde ocorra máximo local segundo esses testes.
[ D = 24 \cdot 24 - (-12)^2 = 576 - 144 = 432 > 0 ]
Como D>0 e f_{xx}=24>0, (4,4) é um mínimo local. Calculando o valor: f(4,4)=4^3 - 12·4·4 + 4^3 = 64 - 192 + 64 = -64.
Não há nenhum ponto onde ocorra máximo local segundo esses testes.
Resposta
Ponto de sela: (0,0). Mínimo local: em (4,4) com f(4,4)=−64. Não existem máximos locais.