Considere o exercício
. Determine a variância do número de partidas jogadas e mostre que este número é maximizado quando
.
Passo 1
O enunciado (com
) descreve uma série de partidas entre dois jogadores que jogam partidas independentes. A cada partida, o jogador A vence com probabilidade
e o jogador B vence com probabilidade
. A série termina quando um dos jogadores atinge
vitórias (isto é, “melhor de 3”).
O que se pede:
O que se pede:
- Determinar a variância do número de partidas jogadas, denotado por
. - Mostrar que essa variância é maximizada quando
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A série termina assim que algum jogador obtém 2 vitórias.
- Portanto
pode assumir apenas os valores ou . - As partidas são independentes e a probabilidade de vitória de A em cada partida é
.
Passo 2
Vamos obter a distribuição de
.
- Para que a série termine em
partidas, é necessário que o mesmo jogador vença as duas primeiras partidas. Logo
Expliquei:
corresponde ao caso A ganha as duas;
corresponde ao caso B ganha as duas.
- Para que a série termine em
partidas, é preciso que após duas partidas ambos tenham uma vitória (situação ) e então o terceiro jogo decide. A probabilidade de ocorrer nas duas primeiras é , e nesse caso a terceira partida sempre é jogada, então
Também vale a verificação:
.
Passo 3
Calcular a esperança
. Usamos a definição
:
Substituindo as probabilidades:
Agora simplifico passo a passo:
então
Expandindo:
Podemos escrever de forma mais compacta:
Passo 4
Calcular
(necessário para a variância). Usamos
:
Substituindo:
Usando
novamente:
Expandindo e reunindo termos:
Passo 5
Calcular a variância usando
.
Já temos
e
. Primeiro computo
explicitamente (mostrando os passos):
Expandindo (fazendo devagar):
Agora subtraio:
Cancelando e reunindo termos:
Essa expressão pode ser fatorada de modo mais elegante para facilitar a análise:
Colocando
em evidência:
Essa forma é simétrica em
(o que era de se esperar pelo problema simétrico).
Passo 6
Mostrar que a variância é maximizada em
.
Defino
. Observação: para
tem-se
, e
atinge
exatamente em
. Em termos de
,
Agora trato
como uma quadrática em
. Essa função é concava para baixo (coeficiente de
negativo) e seu vértice (máximo) ocorre em
Como
, o máximo possível de
no intervalo permitido é em
. Isso corresponde a
, que implica
. O valor máximo da variância é então
Conclusão: a variância é dada por
e é maximizada em
, com valor máximo
.
Resposta
Máxima em