Considere o exercício 19 \operatorname{com} i=2. Determine a variância do número de partidas jogadas e mostre que este número é maximizado quando p=1 / 2.

Passo 1

O enunciado (com i=2) descreve uma série de partidas entre dois jogadores que jogam partidas independentes. A cada partida, o jogador A vence com probabilidade p e o jogador B vence com probabilidade 1-p. A série termina quando um dos jogadores atinge i=2 vitórias (isto é, “melhor de 3”).
O que se pede:
  • Determinar a variância do número de partidas jogadas, denotado por N.
  • Mostrar que essa variância é maximizada quando p=\tfrac{1}{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A série termina assim que algum jogador obtém 2 vitórias.
  • Portanto N pode assumir apenas os valores 2 ou 3.
  • As partidas são independentes e a probabilidade de vitória de A em cada partida é p.

Passo 2

Vamos obter a distribuição de N.
  • Para que a série termine em 2 partidas, é necessário que o mesmo jogador vença as duas primeiras partidas. Logo
P(N=2)=p^2+(1-p)^2.
Expliquei: p^2 corresponde ao caso A ganha as duas; (1-p)^2 corresponde ao caso B ganha as duas.
  • Para que a série termine em 3 partidas, é preciso que após duas partidas ambos tenham uma vitória (situação 1\text{ a }1) e então o terceiro jogo decide. A probabilidade de ocorrer 1\text{ a }1 nas duas primeiras é 2p(1-p), e nesse caso a terceira partida sempre é jogada, então
P(N=3)=2p(1-p).
Também vale a verificação: P(N=2)+P(N=3)=p^2+(1-p)^2+2p(1-p)=1.

Passo 3

Calcular a esperança E[N]. Usamos a definição E[N]=\sum n\,P(N=n):
E[N]=2\cdot P(N=2)+3\cdot P(N=3).
Substituindo as probabilidades:
E[N]=2\bigl(p^2+(1-p)^2\bigr)+3\bigl(2p(1-p)\bigr).
Agora simplifico passo a passo:
p^2+(1-p)^2 = p^2 + 1 -2p + p^2 = 1 -2p +2p^2,
então
E[N]=2(1 -2p +2p^2)+6p(1-p).
Expandindo:
E[N]=2 -4p +4p^2 +6p -6p^2 = 2 +2p -2p^2.
Podemos escrever de forma mais compacta:
E[N]=2+2p(1-p).

Passo 4

Calcular E[N^2] (necessário para a variância). Usamos E[N^2]=\sum n^2 P(N=n):
E[N^2]=4\cdot P(N=2)+9\cdot P(N=3).
Substituindo:
E[N^2]=4\bigl(p^2+(1-p)^2\bigr)+9\bigl(2p(1-p)\bigr).
Usando p^2+(1-p)^2=1-2p+2p^2 novamente:
E[N^2]=4(1-2p+2p^2)+18p(1-p).
Expandindo e reunindo termos:
E[N^2]=4 -8p +8p^2 +18p -18p^2 = 4 +10p -10p^2.

Passo 5

Calcular a variância usando \operatorname{Var}(N)=E[N^2]-(E[N])^2.
Já temos E[N^2]=4 +10p -10p^2 e E[N]=2 +2p -2p^2. Primeiro computo (E[N])^2 explicitamente (mostrando os passos):
(E[N])^2 = (2 +2p -2p^2)^2.
Expandindo (fazendo devagar):
(E[N])^2 = 4 +8p -4p^2 -8p^3 +4p^4.
Agora subtraio:
\operatorname{Var}(N)=\bigl(4 +10p -10p^2\bigr)-\bigl(4 +8p -4p^2 -8p^3 +4p^4\bigr).
Cancelando e reunindo termos:
\operatorname{Var}(N)=2p -6p^2 +8p^3 -4p^4.
Essa expressão pode ser fatorada de modo mais elegante para facilitar a análise:
\operatorname{Var}(N)=2p(1-p)-4p^2(1-p)^2.
Colocando p(1-p) em evidência:
\operatorname{Var}(N)=2p(1-p)\bigl(1-2p(1-p)\bigr).
Essa forma é simétrica em p\leftrightarrow 1-p (o que era de se esperar pelo problema simétrico).

Passo 6

Mostrar que a variância é maximizada em p=\tfrac{1}{2}.
Defino x=p(1-p). Observação: para p\in[0,1] tem-se 0\le x\le\tfrac{1}{4}, e x atinge \tfrac{1}{4} exatamente em p=\tfrac{1}{2}. Em termos de x,
\operatorname{Var}(N)=2x-4x^2.
Agora trato g(x)=2x-4x^2 como uma quadrática em x. Essa função é concava para baixo (coeficiente de x^2 negativo) e seu vértice (máximo) ocorre em
x=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Como x\le\tfrac{1}{4}, o máximo possível de g(x) no intervalo permitido é em x=\tfrac{1}{4}. Isso corresponde a p(1-p)=\tfrac{1}{4}, que implica p=\tfrac{1}{2}. O valor máximo da variância é então
\operatorname{Var}_{\max} = 2\cdot\frac{1}{4}-4\cdot\frac{1}{16} = \frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Conclusão: a variância é dada por \operatorname{Var}(N)=2p(1-p)\bigl(1-2p(1-p)\bigr) e é maximizada em p=\tfrac{1}{2}, com valor máximo \tfrac{1}{4}.

Resposta

\operatorname{Var}(N)=2p -6p^{2}+8p^{3}-4p^{4}=2p(1-p)\bigl(1-2p(1-p)\bigr)
Máxima em p=\tfrac{1}{2}, com \operatorname{Var}(N)=\tfrac{1}{4}.

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