Seja
uma v.a.para a qual
. Construa uma distribuição de probabilidade para
tal que
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados:
e . - Pedido: construir uma distribuição de probabilidade para
tal que - Observação importante: a distribuição pedida deve respeitar as condições de esperança e variância dadas e também atribuir probabilidades não negativas que somem
.
Passo 2
Uma ideia útil (e que aparece em provas) vem da desigualdade de Chebyshev. Vou explicar ela direitinho porque é um instrumento conceitual que ajuda a ver o limite possível e também porque é natural tentar igualar esse limite.
-
Desigualdade de Chebyshev (forma simples): para qualquer v.a.
com média e variância e qualquer , Aquié um número positivo (multiplicador da raiz da variância). A desigualdade dá um limite superior para a probabilidade de se afastar de por mais de . -
Aplicando com
obtemos Isso mostra que o valor pedidoé plausível — é o maior valor permitido por Chebyshev para . Portanto faz sentido tentar construir uma distribuição que realize exatamente essa probabilidade (isto é, que alcance a igualdade na desigualdade).
Passo 3
Agora vou construir explicitamente uma distribuição discreta simples que satisfaça as condições. A ideia é concentrar massa em três pontos: exatamente em
e em
. Isso é natural porque queremos controlar
e também controlar a variância com poucos pontos.
Suponha que
-
, -
, -
.
As condições que essas probabilidades devem satisfazer são:
- Soma das probabilidades:
- Esperança
. Calculo da esperança: Escrevendo isso e simplificando em relação a obtemos a condição Assim Ou seja, as probabilidades dos pontos simétricos em precisam ser iguais para manter a média em . - Variância
. Como vale em e vale nos outros dois pontos, temos Como (já que a média é ), exigimos
Passo 4
Vou resolver o sistema das equações obtidas.
- Da condição de igualdade das probabilidades dos extremos:
. Seja esse valor comum, isto é . - A equação da variância fica
Dividindo por (assumindo ), - Agora a soma das probabilidades dá
, então
Portanto as probabilidades são
e
.
Passo 5
Verificações finais (muito importante em prova: checar que tudo fecha):
- Esperança:
- Variância:
- Probabilidade pedida:
Tudo confere.
Passo 6
Conclusão prática e como escrever no enunciado da prova: apresente diretamente a distribuição discreta encontrada e justifique em poucas linhas a verificação da média, variância e da probabilidade pedida — exatamente como fiz acima.