Seja X uma v.a.para a qual E(X)=\mu \mathrm{e} \operatorname{Var}(X)=\sigma^{2}. Construa uma distribuição de probabilidade para X tal que P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)=1 / 9.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados: E(X)=\mu e \operatorname{Var}(X)=\sigma^{2}.
  • Pedido: construir uma distribuição de probabilidade para X tal que P\big(|X-\mu|\geq 3\sigma\big)=\tfrac{1}{9}.
  • Observação importante: a distribuição pedida deve respeitar as condições de esperança e variância dadas e também atribuir probabilidades não negativas que somem 1.

Passo 2

Uma ideia útil (e que aparece em provas) vem da desigualdade de Chebyshev. Vou explicar ela direitinho porque é um instrumento conceitual que ajuda a ver o limite possível e também porque é natural tentar igualar esse limite.
  • Desigualdade de Chebyshev (forma simples): para qualquer v.a. X com média \mu e variância \sigma^{2} e qualquer k>0,
    P\big(|X-\mu|\geq k\sigma\big)\leq \frac{1}{k^{2}}.
    Aqui k é um número positivo (multiplicador da raiz da variância). A desigualdade dá um limite superior para a probabilidade de X se afastar de \mu por mais de k\sigma.
  • Aplicando com k=3 obtemos
    P\big(|X-\mu|\geq 3\sigma\big)\leq \frac{1}{9}.
    Isso mostra que o valor pedido 1/9 é plausível — é o maior valor permitido por Chebyshev para k=3. Portanto faz sentido tentar construir uma distribuição que realize exatamente essa probabilidade (isto é, que alcance a igualdade na desigualdade).

Passo 3

Agora vou construir explicitamente uma distribuição discreta simples que satisfaça as condições. A ideia é concentrar massa em três pontos: exatamente em \mu e em \mu\pm 3\sigma. Isso é natural porque queremos controlar P(|X-\mu|\geq 3\sigma) e também controlar a variância com poucos pontos.
Suponha que
  • P(X=\mu)=p_{0},
  • P(X=\mu+3\sigma)=p_{+},
  • P(X=\mu-3\sigma)=p_{-}.
As condições que essas probabilidades devem satisfazer são:
  1. Soma das probabilidades: p_{0}+p_{+}+p_{-}=1.
  2. Esperança E(X)=\mu. Calculo da esperança: E(X)=p_{0}\mu+p_{+}(\mu+3\sigma)+p_{-}(\mu-3\sigma).Escrevendo isso e simplificando em relação a \mu obtemos a condição 3\sigma(p_{+}-p_{-})=0.Assim p_{+}=p_{-}.Ou seja, as probabilidades dos pontos simétricos em \mu\pm3\sigma precisam ser iguais para manter a média em \mu.
  3. Variância \operatorname{Var}(X)=\sigma^{2}. Como (X-\mu)^{2} vale 0 em X=\mu e vale (3\sigma)^{2}=9\sigma^{2} nos outros dois pontos, temos E\big((X-\mu)^{2}\big)=0\cdot p_{0}+9\sigma^{2}\cdot p_{+}+9\sigma^{2}\cdot p_{-}=9\sigma^{2}(p_{+}+p_{-}).Como \operatorname{Var}(X)=E\big((X-\mu)^{2}\big) (já que a média é \mu), exigimos 9\sigma^{2}(p_{+}+p_{-})=\sigma^{2}.

Passo 4

Vou resolver o sistema das equações obtidas.
  • Da condição de igualdade das probabilidades dos extremos: p_{+}=p_{-}. Seja p esse valor comum, isto é p_{+}=p_{-}=p.
  • A equação da variância fica 9\sigma^{2}(p+p)=9\sigma^{2}\cdot 2p=\sigma^{2}.Dividindo por \sigma^{2} (assumindo \sigma^{2}>0), 18p=1\quad\Rightarrow\quad p=\tfrac{1}{18}.
  • Agora a soma das probabilidades dá p_{0}+2p=1, então p_{0}=1-2p=1-2\cdot\tfrac{1}{18}=1-\tfrac{1}{9}=\tfrac{8}{9}.
Portanto as probabilidades são p_{0}=\tfrac{8}{9} e p_{+}=p_{-}=\tfrac{1}{18}.

Passo 5

Verificações finais (muito importante em prova: checar que tudo fecha):
  • Esperança: E(X)=\tfrac{8}{9}\mu+\tfrac{1}{18}(\mu+3\sigma)+\tfrac{1}{18}(\mu-3\sigma)
=\mu\big(\tfrac{8}{9}+\tfrac{1}{18}+\tfrac{1}{18}\big)+3\sigma\big(\tfrac{1}{18}-\tfrac{1}{18}\big)=\mu\cdot 1+0=\mu.
  • Variância: \operatorname{Var}(X)=0\cdot\tfrac{8}{9}+9\sigma^{2}\cdot\tfrac{1}{18}+9\sigma^{2}\cdot\tfrac{1}{18}=9\sigma^{2}\cdot\tfrac{2}{18}=\sigma^{2}.
  • Probabilidade pedida: P\big(|X-\mu|\geq 3\sigma\big)=P(X=\mu+3\sigma)+P(X=\mu-3\sigma)=\tfrac{1}{18}+\tfrac{1}{18}=\tfrac{1}{9}.
Tudo confere.

Passo 6

Conclusão prática e como escrever no enunciado da prova: apresente diretamente a distribuição discreta encontrada e justifique em poucas linhas a verificação da média, variância e da probabilidade pedida — exatamente como fiz acima.

Resposta

P(X=\mu)=\tfrac{8}{9}
P(X=\mu+3\sigma)=\tfrac{1}{18}
P(X=\mu-3\sigma)=\tfrac{1}{18}

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