A equação de uma onda transversal num fio é dada por
em que comprimentos estão em centímetros e tempos em segundos. Obtenha
a) a amplitude, comprimento de onda e período.
b) a velocidade transversal máxima num ponto qualquer do fio.
c) a equação da onda resultante da interferência com
a) a amplitude, comprimento de onda e período.
b) a velocidade transversal máxima num ponto qualquer do fio.
c) a equação da onda resultante da interferência com
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da onda transversal num fio e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
- A equação da onda é
com comprimentos em centímetros e tempos em segundos.
Pedidos:
a) Determinar a amplitude, o comprimento de onda e o período.
b) Determinar a velocidade transversal máxima num ponto qualquer do fio (ou seja, a velocidade máxima de um elemento do fio na direção ).
c) Encontrar a equação da onda resultante da interferência dessa onda com
a) Determinar a amplitude, o comprimento de onda e o período.
b) Determinar a velocidade transversal máxima num ponto qualquer do fio (ou seja, a velocidade máxima de um elemento do fio na direção
c) Encontrar a equação da onda resultante da interferência dessa onda com
Passo 2
Entender os parâmetros da forma padrão de uma onda harmônica me ajuda a identificar o que cada número significa. A forma geral de uma onda plana progressiva é
onde:
-
é a amplitude (máxima deflexão, em cm); -
é o número de onda (em ), relacionado ao comprimento de onda por ; -
é a frequência angular (em ), relacionada ao período por ; -
é a fase inicial (em rad).
Comparando com a equação dada, identifico:
Observação sobre unidades: como o enunciado disse que comprimentos estão em centímetros,
tem unidade
. Como tempos em segundos,
tem unidade
. A amplitude
está em centímetros.
Passo 3
Calcular amplitude, comprimento de onda e período (item a).
- Amplitude: pela identificação direta,
- Comprimento de onda: usar
. Substituindo :
Se quiser um valor numérico aproximado:
- Período: usar
. Substituindo :
Valor numérico aproximado:
Passo 4
Calcular a velocidade transversal máxima num ponto qualquer do fio (item b).
Um ponto fixo
do fio tem deslocamento
. A velocidade transversal desse ponto é a derivada temporal parcial:
Aplicando a derivada à equação
:
Como
é tratado como constante na derivada temporal,
. Logo:
A velocidade máxima em módulo ocorre quando
, portanto
Observação conceitual útil: em geral
. Aqui
e
dão
.
Passo 5
Encontrar a onda resultante da superposição (item c).
Somar as duas ondas:
A soma é
Usar a identidade trigonométrica
Aqui tome
e
. Então
Aplicando a identidade:
Como
é par,
. Portanto
Voltando ao
:
Multiplicando
podemos escrever a amplitude resultante como
. Em forma numérica aproximada:
Então a onda resultante é
Passo 6
Interpretação rápida (motivacional): a interferência entre duas ondas iguais em amplitude e frequência, mas defasadas de
, gera uma onda única com a mesma frequência e número de onda, porém com amplitude aumentada para
(ou aproximadamente
) e com deslocamento de fase
. Bom trabalho por chegar até aqui — isso é exatamente o tipo de manipulação trigonométrica e física que costuma cair em prova!
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)