A equação de uma onda transversal num fio é dada por
Y(x, t)=2,00 \operatorname{sen}(4 x-2 t)
em que comprimentos estão em centímetros e tempos em segundos. Obtenha
a) a amplitude, comprimento de onda e período.
b) a velocidade transversal máxima num ponto qualquer do fio.
c) a equação da onda resultante da interferência com
Y(x, t)=2,00 \operatorname{sen}\left(4 x-2 t+\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda transversal num fio e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
  • A equação da onda é
Y(x,t)=2,00\operatorname{sen}(4x-2t),
com comprimentos em centímetros e tempos em segundos.
Pedidos:
a) Determinar a amplitude, o comprimento de onda e o período.
b) Determinar a velocidade transversal máxima num ponto qualquer do fio (ou seja, a velocidade máxima de um elemento do fio na direção Y).
c) Encontrar a equação da onda resultante da interferência dessa onda com
Y(x,t)=2,00\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{3}\right).

Passo 2

Entender os parâmetros da forma padrão de uma onda harmônica me ajuda a identificar o que cada número significa. A forma geral de uma onda plana progressiva é
Y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (máxima deflexão, em cm);
  • k é o número de onda (em \mathrm{rad/cm}), relacionado ao comprimento de onda por \lambda=\dfrac{2\pi}{k};
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}), relacionada ao período por T=\dfrac{2\pi}{\omega};
  • \varphi é a fase inicial (em rad).
Comparando com a equação dada, identifico:
A=2,00,\qquad k=4,\qquad \omega=2,\qquad \varphi=0.
Observação sobre unidades: como o enunciado disse que comprimentos estão em centímetros, k=4 tem unidade \mathrm{rad/cm}. Como tempos em segundos, \omega=2 tem unidade \mathrm{rad/s}. A amplitude A está em centímetros.

Passo 3

Calcular amplitude, comprimento de onda e período (item a).
  • Amplitude: pela identificação direta,
A=2,00\\ \text{cm}.
  • Comprimento de onda: usar \lambda=\dfrac{2\pi}{k}. Substituindo k=4:
\lambda=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\ \text{cm}.
Se quiser um valor numérico aproximado:
\lambda\approx1,571\\ \text{cm}.
  • Período: usar T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Substituindo \omega=2:
T=\frac{2\pi}{2}=\pi\\ \text{s}.
Valor numérico aproximado:
T\approx3,142\\ \text{s}.

Passo 4

Calcular a velocidade transversal máxima num ponto qualquer do fio (item b).
Um ponto fixo x do fio tem deslocamento Y(x,t). A velocidade transversal desse ponto é a derivada temporal parcial:
v_y(x,t)=\frac{\partial Y}{\partial t}.
Aplicando a derivada à equação Y(x,t)=2,00\operatorname{sen}(4x-2t):
\frac{\partial Y}{\partial t}=2,00\cdot\cos(4x-2t)\cdot\frac{d}{dt}(4x-2t).
Como x é tratado como constante na derivada temporal, \dfrac{d}{dt}(4x-2t)=-2. Logo:
v_y(x,t)=2,00\cdot\cos(4x-2t)\cdot(-2)=-4,00\cos(4x-2t).
A velocidade máxima em módulo ocorre quando |\cos(4x-2t)|=1, portanto
v_{y,\max}=4,00\\ \text{cm/s}.
Observação conceitual útil: em geral v_{y,\max}=A\omega. Aqui A=2,00 e \omega=2 dão A\omega=4,00\\ \text{cm/s}.

Passo 5

Encontrar a onda resultante da superposição (item c).
Somar as duas ondas:
Y_1=2,00\operatorname{sen}(4x-2t), \qquad Y_2=2,00\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{3}\right).
A soma é
Y=Y_1+Y_2=2,00\biggl[\operatorname{sen}(4x-2t)+\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{3}\right)\biggr].
Usar a identidade trigonométrica
\operatorname{sen} a+\operatorname{sen} b = 2\operatorname{sen}\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\frac{a-b}{2}\right).
Aqui tome a=4x-2t e b=4x-2t+\dfrac{\pi}{3}. Então
\frac{a+b}{2}=4x-2t+\frac{\pi}{6}, \qquad \frac{a-b}{2}=-\frac{\pi}{6}.
Aplicando a identidade:
\operatorname{sen}(4x-2t)+\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{3}\right) =2\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right).
Como \cos é par, \cos(-\pi/6)=\cos(\pi/6)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\operatorname{sen}(4x-2t)+\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{3}\right) =2\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{6}\right)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\sqrt{3}\,\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{6}\right).
Voltando ao Y:
Y=2,00\cdot\sqrt{3}\,\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{6}\right).
Multiplicando 2,00\sqrt{3} podemos escrever a amplitude resultante como 2\sqrt{3}. Em forma numérica aproximada:
2\sqrt{3}\approx3,464\\ \text{cm}.
Então a onda resultante é
Y(x,t)=2\sqrt{3}\,\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{6}\right).

Passo 6

Interpretação rápida (motivacional): a interferência entre duas ondas iguais em amplitude e frequência, mas defasadas de \dfrac{\pi}{3}, gera uma onda única com a mesma frequência e número de onda, porém com amplitude aumentada para 2\sqrt{3} (ou aproximadamente 3,464\\ \text{cm}) e com deslocamento de fase \dfrac{\pi}{6}. Bom trabalho por chegar até aqui — isso é exatamente o tipo de manipulação trigonométrica e física que costuma cair em prova!

Resposta

a) A=2,00\\ \text{cm},\quad \lambda=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{cm}\approx1,571\\ \text{cm},\quad T=\pi\\ \text{s}\approx3,142\\ \text{s}.
b) v_{y,\max}=4,00\\ \text{cm/s}.
c) Y(x,t)=2\sqrt{3}\,\operatorname{sen}\!\left(4x-2t+\frac{\pi}{6}\right).

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