Considere os exercícios abaixo.
Para quais valores de x o gráfico f(x)=2 x^3-3 x^2-6 x+87 tem tangentes horizontais?

Passo 1

Beleza! A gente tem o gráfico da função e queremos descobrir para quais valores de esse gráfico tem tangentes horizontais. Isso significa que a derivada da função nessas será igual a zero. Vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = ddx(2x^3) - ddx(3x^2) - ddx(6x) + ddx(87) . A derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto . A regra para derivar é multiplicar pelo expoente e diminuir o expoente em 1. Então, vamos derivar cada termo:

Passo 3

Calculando cada derivada individualmente:
ddx(2x^3) = 6x^2
ddx(3x^2) = 6x
ddx(6x) = 6
ddx(87) = 0
Então, a derivada completa fica:
f'(x) = 6x^2 - 6x - 6

Passo 4

Agora, queremos que a tangente seja horizontal. Isso ocorre quando a inclinação da tangente é zero, ou seja, quando 6x^2 - 6x - 6 = 0 . Então, vamos resolver a equação:

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 6:
x^2 - x - 1 = 0
Agora, temos uma equação quadrática simples. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde , , e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
x = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1
x = 1 pm raiz1 + 42
x = 1 pm raiz52

Resposta

Os valores de x = 1 + raiz52 e x = 1 - raiz52 para os quais o gráfico tem tangentes horizontais são:

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