Seja C a parte da elipse x^2+4 y^2=1 que está no primeiro quadrante e entre as retas x=2 y e x=0, percorrida no sentido horário. O valor da integral integralC 4 yx^2+4 y^2 d x-4 xx^2+4 y^2 d y é:
Escolha uma opção:
0
pi2
-pi2
-pi
pi

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma integral de linha sobre uma parte específica de uma elipse, que é $ x^{2} + 4y^{2} = 1 $. Essa parte está no primeiro quadrante (onde $ x $ e $ y $ são positivos) e entre as retas $ x = 2y $ e $ x = 0 $. A gente precisa calcular o valor da integral:
x^2 + 4y^2 = 1
Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos vetoriais e integral de linha, além de verificar se podemos aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral. A integral dada pode ser escrita como:
integralC P , dx + Q , dy
Onde:
P = 4yx^2 + 4y^2, Q = -4xx^2 + 4y^2

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo é conservativo ou se podemos usar o Teorema de Green. O Teorema de Green relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Para usá-lo, precisamos verificar se as condições são satisfeitas.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -4xx^2 + 4y^2 ) = -4(x^2 + 4y^2) - 4x(2x)(x^2 + 4y^2)^2 = -4(x^2 + 4y^2 - 2x^2)(x^2 + 4y^2)^2 = -4( -x^2 + 4y^2)(x^2 + 4y^2)^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( 4yx^2 + 4y^2 ) = 4(x^2 + 4y^2) - 4y(8y)(x^2 + 4y^2)^2 = 4x^2 + 16y^2 - 32y^2(x^2 + 4y^2)^2 = 4x^2 - 16y^2(x^2 + 4y^2)^2

Passo 5

Calculamos a diferença $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Qpartial x - partial Ppartial y

Passo 6

Como $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 $, pelo Teorema de Green, a integral de linha sobre uma curva fechada é zero. Mesmo que a curva $ C $ não seja fechada, podemos imaginar fechando-a com outra trajetória onde a integral também será zero, mantendo o resultado final.

Resposta

O valor da integral é 0.

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