Seja
a parte da elipse
que está no primeiro quadrante e entre as retas
e
, percorrida no sentido horário. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
0
Escolha uma opção:
0
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma integral de linha sobre uma parte específica de uma elipse, que é $ x^{2} + 4y^{2} = 1 $. Essa parte está no primeiro quadrante (onde $ x $ e $ y $ são positivos) e entre as retas $ x = 2y $ e $ x = 0 $. A gente precisa calcular o valor da integral:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de campos vetoriais e integral de linha, além de verificar se podemos aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral. A integral dada pode ser escrita como:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se o campo é conservativo ou se podemos usar o Teorema de Green. O Teorema de Green relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Para usá-lo, precisamos verificar se as condições são satisfeitas.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Passo 5
Calculamos a diferença $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $:
Passo 6
Como $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 $, pelo Teorema de Green, a integral de linha sobre uma curva fechada é zero. Mesmo que a curva $ C $ não seja fechada, podemos imaginar fechando-a com outra trajetória onde a integral também será zero, mantendo o resultado final.
Resposta
O valor da integral é 0.