Seja f: R-0 R dada por f(x)=cos (1x). Mostre que não existe lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, então temos uma função $ f(x) = \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ definida para todo real exceto zero. A gente precisa mostrar que o limite dessa função quando $ x $ se aproxima de zero não existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções trigonométricas perto de pontos problemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite não existir. Um limite $ \lim_{x \to 0} f(x) $ não existir se, conforme $ x $ se aproxima de 0, $ f(x) $ não se aproxima de nenhum valor específico. Isso pode acontecer se a função oscila demais ou tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $.

Passo 3

Agora, observamos a função $ f(x) = \cos\left(\frac{1}{x}\right) $. Conforme $ x $ se aproxima de 0, $ \frac{1}{x} $ se aproxima de $ \pm \infty $. A função cosseno tem um comportamento oscilatório entre -1 e 1 para valores grandes de seu argumento. Então, $ \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ vai oscilar cada vez mais rápido entre -1 e 1 conforme $ x $ se aproxima de 0.

Passo 4

Para mostrar que o limite não existe, podemos encontrar duas sequências que se aproximam de 0, mas que fazem $ f(x) $ se aproximar de valores diferentes. Por exemplo:
  • Se $ x_n = \frac{1}{2n\pi} $, então $ \frac{1}{x_n} = 2n\pi $ e $ \cos(2n\pi) = 1 $.
  • Se $ x_n = \frac{1}{(2n+1)\pi} $, então $ \frac{1}{x_n} = (2n+1)\pi $ e $ \cos((2n+1)\pi) = -1 $.

Passo 5

Isso mostra que existem sequências de $ x $ que se aproximam de 0 para as quais $ f(x) $ se aproxima de 1 e outras que se aproximam de -1. Como esses dois valores são diferentes, o limite $ \lim_{x \to 0} f(x) $ não pode existir.

Resposta

Portanto, como $ f(x) = \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico quando $ x $ se aproxima de 0, concluímos que $ \lim_{x \to 0} f(x) $ não existe.

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