Calcule integralC x d s onde C é a curva interseção da semiesfera z=raiz4-x^2-y^2 com o plano x+y=2.
Escolha uma opção:
raiz2 pi
raiz2 pi2
pi
2 pi
2 raiz2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC x , d s, onde a curva C é a interseção da semiesfera z=raiz4-x^2-y^2 com o plano x+y=2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais ao longo de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela é a interseção entre a semiesfera z=raiz4-x^2-y^2 e o plano x+y=2. Para encontrar essa interseção, substituímos y em termos de x a partir do plano na equação da semiesfera.

Passo 3

Do plano x + y = 2, podemos expressar y como y = 2 - x. Substituindo isso na equação da semiesfera:
z = raiz4 - x^2 - (2 - x)^2
Vamos simplificar dentro da raiz:
(2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2
Então:
z = raiz4 - x^2 - (4 - 4x + x^2) = raiz4 - x^2 - 4 + 4x - x^2 = raiz4x - 2x^2 - 0 = raiz4x - 2x^2

Passo 4

Agora, para parametrizar a curva C, vamos usar um parâmetro theta que vai nos ajudar a descrever as coordenadas x, y e z ao longo da curva. Como estamos lidando com uma circunferência no plano, podemos usar coordenadas polares.
Vamos escrever:
x = a + r cos(theta) y = b + r sin(theta)
Precisamos encontrar os valores de a, b e r que descrevem a interseção.

Passo 5

A interseção ocorre no plano x + y = 2, então podemos definir x = a + r cos(theta) e y = 2 - a + r sin(theta) para que x + y = 2 seja sempre satisfeito. Para simplificar, vamos centralizar a curva no plano.
Após alguns cálculos, descobrimos que o raio r da circunferência de interseção é raiz2 e o centro está no ponto (1,1, raiz2).

Passo 6

Agora, expressamos z em termos de theta. Como z = raiz4 - x^2 - y^2, substituindo x e y parametrizados:
z = raiz4 - (1 + raiz2cos theta)^2 - (1 + raiz2sin theta)^2
Simplificando isso, encontramos que z é constante ao longo da curva e igual a raiz2.

Passo 7

Com a parametrização completa:
r(theta) = (1 + raiz2cos theta, 1 + raiz2sin theta, raiz2), theta in [0, 2pi]
Agora, precisamos calcular ds, que é o elemento de arco. A fórmula para ds em termos de theta é:
ds = |r,'(theta)| , dtheta
Calculando a derivada de r(theta):
r,'(theta) = (-raiz2sin theta, raiz2cos theta, 0)
E a magnitude:
|r,'(theta)| = raiz(-raiz2sin theta)^2 + (raiz2cos theta)^2 + 0^2 = raiz2sin^2 theta + 2cos^2 theta = raiz2(sin^2 theta + cos^2 theta) = raiz2
Então, ds = raiz2 , dtheta.

Passo 8

Agora, substituímos tudo na integral:
integralC x , ds = integral0^2pi x(theta) cdot ds = integral0^2pi (1 + raiz2cos theta) cdot raiz2 , dtheta
Distribuindo raiz2:
= raiz2 integral0^2pi (1 + raiz2cos theta) , dtheta = raiz2 [ integral0^2pi 1 , dtheta + raiz2 integral0^2pi cos theta , dtheta ]

Passo 9

Calculando as integrais:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi integral0^2pi cos theta , dtheta = 0
Então:
raiz2 [ 2pi + raiz2 cdot 0 ] = raiz2 cdot 2pi = 2raiz2 pi

Resposta

2 raiz2 pi

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