Calcule
onde
é a curva interseção da semiesfera
com o plano
.
Escolha uma opção:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a curva
é a interseção da semiesfera
com o plano
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais ao longo de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é a interseção entre a semiesfera
e o plano
. Para encontrar essa interseção, substituímos
em termos de
a partir do plano na equação da semiesfera.
Passo 3
Do plano
, podemos expressar
como
. Substituindo isso na equação da semiesfera:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:
Passo 4
Agora, para parametrizar a curva
, vamos usar um parâmetro
que vai nos ajudar a descrever as coordenadas
,
e
ao longo da curva. Como estamos lidando com uma circunferência no plano, podemos usar coordenadas polares.
Vamos escrever:
Precisamos encontrar os valores de
,
e
que descrevem a interseção.
Passo 5
A interseção ocorre no plano
, então podemos definir
e
para que
seja sempre satisfeito. Para simplificar, vamos centralizar a curva no plano.
Após alguns cálculos, descobrimos que o raio
da circunferência de interseção é
e o centro está no ponto
.
Passo 6
Agora, expressamos
em termos de
. Como
, substituindo
e
parametrizados:
Simplificando isso, encontramos que
é constante ao longo da curva e igual a
.
Passo 7
Com a parametrização completa:
Agora, precisamos calcular
, que é o elemento de arco. A fórmula para
em termos de
é:
Calculando a derivada de
:
E a magnitude:
Então,
.
Passo 8
Agora, substituímos tudo na integral:
Distribuindo
:
Passo 9
Calculando as integrais:
Então: