Considere os exercícios a seguir.
( 1,0 pt.) Determine uma equação da reta tangente à curva f(x)=e^x cos xx^2+x-2 no ponto P=(0,-12).

Passo 1

Temos a curva f(x)=e^xcos xx^2+x-2 e queremos a reta tangente no ponto P=(0,-tfrac12). Para isso, vamos usar a derivada de f e a fórmula da reta tangente y - f(x0)=f'(x0)(x - x0).

Passo 2

Identifico as funções do numerador e denominador da fração: definindo
u(x)=e^xcos x, v(x)=x^2+x-2,
sabendo que a derivada de um quociente é dada por ddxl(uvr)=u'v-uv'v^2.

Passo 3

Calculo u'(x) e v'(x). Pela regra do produto,
u'(x)=ddx(e^x)cos x+e^xddx(cos x)=e^xcos x-e^xsin x=e^x(cos x-sin x),
e
v'(x)=ddx(x^2+x-2)=2x+1

Passo 4

Avalio tudo em x=0: u(0)=1, u'(0)=1, v(0)=-2, v'(0)=1. Assim,
f'(0)=1cdot(-2)-1cdot1(-2)^2=-34

Passo 5

Por fim, a equação da reta tangente em x0=0 é
y-f(0)=f'(0),(x-0)Longrightarrow y+tfrac12=-tfrac34x,
de onde
y=-tfrac34x-tfrac12

Resposta

y=-34x-12

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