Esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares.
r=3 theta, theta >= 0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva em coordenadas polares dada por r=3theta para theta>=0. O conteúdo aqui é coordenadas polares e curvas planas — mais especificamente a espiral de Arquimedes — e vamos precisar usar a relação entre (r,theta) e (x,y) e entender como r cresce com theta.

Passo 2

A equação r=3theta mostra que o raio r cresce linearmente com o ângulo theta. Esse é o caso clássico da espiral de Arquimedes, cuja forma geral é r=atheta. Aqui a=3, o que significa que a cada aumento de 1 radiano em theta, o raio cresce em 3 unidades.
Para ter ideia de como fica no plano, montamos uma tabela de alguns pontos:<ul><li> theta=0: r=0 → ponto na origem.</li><li> theta=tfracpi2: r=3tfracpi2=tfrac3pi2approx4,71. Em cartesiano (x,y)=(rcostheta,rsintheta)approx(0,4,71).</li><li> theta=pi: r=3piapprox9,42. Em (x,y)approx(-9,42,0).</li><li> theta=3pi/2: r=3cdot3pi/2=tfrac9pi2approx14,14. Em (x,y)approx(0,-14,14).</li><li> theta=2pi: r=6piapprox18,85. Em (x,y)approx(18,85,0).</li></ul>

Passo 3

Com esses pontos notamos que, conforme theta cresce, a curva sai do centro e forma voltas espaçadas igualmente em termo de raio: a distância radial entre voltas consecutivas (quando theta difere de 2pi) é De.
Agora basta ligar suavemente esses pontos no plano polar, formando uma linha que gira continuamente para fora, caracterizando a espiral de Arquimedes.
O esboço final é uma espiral que parte da origem e se afasta linearmente, com passo radial constante de 6pi a cada volta completa.

Resposta

A curva é uma espiral de Arquimedes de equação r=3theta, theta>=0, começando na origem e girando para fora com passo radial constante de 6pi por volta completa.

Exercícios relacionados