Esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a curva em coordenadas polares dada por
para
. O conteúdo aqui é coordenadas polares e curvas planas — mais especificamente a espiral de Arquimedes — e vamos precisar usar a relação entre
e
e entender como
cresce com
.
Passo 2
A equação
mostra que o raio
cresce linearmente com o ângulo
. Esse é o caso clássico da espiral de Arquimedes, cuja forma geral é
. Aqui
, o que significa que a cada aumento de
radiano em
, o raio cresce em 3 unidades.
Para ter ideia de como fica no plano, montamos uma tabela de alguns pontos:<ul><li> :
→ ponto na origem.</li><li>
:
. Em cartesiano
.</li><li>
:
. Em
.</li><li>
:
. Em
.</li><li>
:
. Em
.</li></ul>
Para ter ideia de como fica no plano, montamos uma tabela de alguns pontos:<ul><li>
Passo 3
Com esses pontos notamos que, conforme
cresce, a curva sai do centro e forma voltas espaçadas igualmente em termo de raio: a distância radial entre voltas consecutivas (quando
difere de
) é
.
Agora basta ligar suavemente esses pontos no plano polar, formando uma linha que gira continuamente para fora, caracterizando a espiral de Arquimedes.
O esboço final é uma espiral que parte da origem e se afasta linearmente, com passo radial constante de a cada volta completa.
Agora basta ligar suavemente esses pontos no plano polar, formando uma linha que gira continuamente para fora, caracterizando a espiral de Arquimedes.
O esboço final é uma espiral que parte da origem e se afasta linearmente, com passo radial constante de
Resposta
A curva é uma espiral de Arquimedes de equação
,
, começando na origem e girando para fora com passo radial constante de
por volta completa.