Esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
. O conteúdo aqui é estudo de limaçons (curvas do tipo
ou
) e vamos precisar achar os zeros de
, os pontos principais e usar a simetria.
Passo 2
Reconhecemos que
é um limaçon com
e
. Como
, teremos um laço interno. A curva é simétrica em relação ao eixo vertical (eixo
).
Passo 3
Para encontrar onde o laço interno começa e termina, resolvemos
:
Portanto
e
. Entre esses ângulos,
fica negativo e forma o laço.
Passo 4
Calculamos alguns pontos notáveis:
– :
→ ponto
.
– :
→ ponto
.
– :
→ equivale a ponto
.
– :
, então
→ ponto
.
– Em e
,
→ origem.
–
–
–
–
– Em
Passo 5
Com esses pontos e a informação de simetria vertical, traçamos o laço interno que vai da origem em
, atinge
em
e retorna à origem em
. Depois, o ramo externo parte da origem para
passando por
, segue até
em
e completa o contorno encontrando
em
.
Passo 6
Ligando suavemente todos esses pontos respeitando a variação de
de 0 a
e a simetria vertical, obtemos o esboço de um limaçon com um pequeno laço interno voltado para cima.
Resposta
O gráfico é um limaçon com laço interno, simétrico ao eixo vertical. O laço interno vai de
a
, tocando a origem nesses ângulos e tendo ponto mais interno em
. O ramo externo parte da origem, passa por
, atinge
em
e retorna a
em
.