Esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares.
r=1-2 sen theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por r = 1 - 2sintheta. O conteúdo aqui é estudo de limaçons (curvas do tipo r = a + bsintheta ou r = a + bcostheta) e vamos precisar achar os zeros de r, os pontos principais e usar a simetria.

Passo 2

Reconhecemos que r = 1 - 2sintheta é um limaçon com a = 1 e b = 2. Como |b| > |a|, teremos um laço interno. A curva é simétrica em relação ao eixo vertical (eixo theta = tfracpi2).

Passo 3

Para encontrar onde o laço interno começa e termina, resolvemos r = 0:
1 - 2sintheta = 0 implies sintheta = tfrac12
Portanto theta = tfracpi6 e theta = tfrac5pi6. Entre esses ângulos, r fica negativo e forma o laço.

Passo 4

Calculamos alguns pontos notáveis:
theta=0: r=1 → ponto (1,0).
theta=pi: r=1 → ponto (-1,0).
theta=tfracpi2: r=1-2cdot1=-1 → equivale a ponto (0,-1).
theta=tfrac3pi2: sintfrac3pi2=-1, então r=1-2(-1)=3 → ponto (0,-3).
– Em theta=tfracpi6 e tfrac5pi6, r=0 → origem.

Passo 5

Com esses pontos e a informação de simetria vertical, traçamos o laço interno que vai da origem em theta=tfracpi6, atinge (0,-1) em theta=tfracpi2 e retorna à origem em theta=tfrac5pi6. Depois, o ramo externo parte da origem para theta>tfrac5pi6 passando por (-1,0), segue até (0,-3) em theta=tfrac3pi2 e completa o contorno encontrando (1,0) em theta=2pi.

Passo 6

Ligando suavemente todos esses pontos respeitando a variação de theta de 0 a 2pi e a simetria vertical, obtemos o esboço de um limaçon com um pequeno laço interno voltado para cima.

Resposta

O gráfico é um limaçon com laço interno, simétrico ao eixo vertical. O laço interno vai de theta=tfracpi6 a tfrac5pi6, tocando a origem nesses ângulos e tendo ponto mais interno em (0,-1). O ramo externo parte da origem, passa por (-1,0), atinge (0,-3) em theta=tfrac3pi2 e retorna a (1,0) em theta=2pi.

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