Considere os exercícios a seguir envolvendo funções diferenciáveis.
Calcule o valor aproximado do número raiz[3](8,12)^2 usando linearização.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente calcule uma aproximação de usando linearização. Isso está dentro do tema de funções diferenciáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a linearização de uma função e aplicar a derivada para achar essa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos linearizar. Vamos definir . A ideia é aproximar , mas como 8,12 está perto de 8, vamos usar 8 como ponto base para a linearização.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto base, que é 8:
f(8) = raiz[3]8^2 = raiz[3]64 = 4

Passo 4

Precisamos da derivada da função f(x) = x^2/3 f'(x) = 23 x^-1/3 = 23 cdot 1raiz[3]x para fazer a linearização. Vamos calcular :

Passo 5

Vamos avaliar a derivada no ponto base, que é f'(8) = 23 cdot 1raiz[3]8 = 23 cdot 12 = 13 :

Passo 6

Com a função e a derivada calculadas, vamos usar a fórmula da linearização para aproximar f(a + h) approx f(a) + f'(a) cdot h . A fórmula da linearização é:
f(8,12) approx f(8) + f'(8) cdot 0,12 = 4 + 13 cdot 0,12 = 4 + 0,04 = 4,04
Aqui, e (já que ). Então:

Resposta

O valor aproximado de usando a linearização é 4,04.

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