Considere os exercícios a seguir envolvendo funções diferenciáveis.
Calcule o valor aproximado do número
usando linearização.
Calcule o valor aproximado do número
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente calcule uma aproximação de
usando linearização. Isso está dentro do tema de funções diferenciáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a linearização de uma função e aplicar a derivada para achar essa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos linearizar. Vamos definir
. A ideia é aproximar
, mas como 8,12 está perto de 8, vamos usar 8 como ponto base para a linearização.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função no ponto base, que é 8:
Passo 4
Precisamos da derivada da função
para fazer a linearização. Vamos calcular
:
Passo 5
Vamos avaliar a derivada no ponto base, que é
:
Passo 6
Com a função e a derivada calculadas, vamos usar a fórmula da linearização para aproximar
. A fórmula da linearização é:
Aqui,
e
(já que
). Então:
Resposta
O valor aproximado de
usando a linearização é 4,04.