Determine uma equação da reta tangente à curva x^2-2 y^3=9 raizx y no ponto P=(-4,-1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto.

Passo 2

A equação da reta tangente pode ser encontrada usando a fórmula da reta , onde é a inclinação da reta no ponto . Então, nosso primeiro objetivo é encontrar a derivada da curva no ponto .

Passo 3

Como a equação da curva é dada de forma implícita (isto é, está misturado com na mesma equação), vamos usar a diferenciação implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de .

Passo 4

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a é .
  3. Derivada de em relação a é .

Passo 5

Após derivar, nossa equação fica:
2x - 6y^2 dydx = 9(y + x dydx)2 raizx y
Agora, vamos isolar 2x - 6y^2 dydx = 9y2 raizx y + 9x2 raizx y dydx :
-6y^2 dydx - 9x2 raizx y dydx = 9y2 raizx y - 2x
Vamos reorganizar os termos para agrupar dydx ( -6y^2 - 9x2 raizx y ) = 9y2 raizx y - 2x :
dydx = 9y2 raizx y - 2x-6y^2 - 9x2 raizx y
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 6

Agora, vamos substituir dydx = 9(-1)2 times 2 - 2(-4)-6(-1)^2 - 9(-4)2 times 2 e dydx = -94 + 8-6 times 1 - -364 = -9 + 324-6 + 9 = 2343 = 2312 na expressão de :
Primeiro, calculamos .
Substituindo:
Simplificando:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da reta tangente y - (-1) = 2312(x - (-4)) y + 1 = 2312(x + 4) com y = 2312x + 2312 times 4 - 1 y = 2312x + 9212 - 1 y = 2312x + 9212 - 1212 y = 2312x + 8012 y = 2312x + 203 , e :
Podemos deixar a equação na forma explicita para facilitar:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto y = 2312x + 203 é:

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