Determine uma equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Passo 2
A equação da reta tangente pode ser encontrada usando a fórmula da reta
, onde
é a inclinação da reta no ponto
. Então, nosso primeiro objetivo é encontrar a derivada
da curva no ponto
.
Passo 3
Como a equação da curva é dada de forma implícita (isto é,
está misturado com
na mesma equação), vamos usar a diferenciação implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
.
Passo 4
Vamos derivar cada termo da equação
em relação a
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Passo 5
Após derivar, nossa equação fica:
Agora, vamos isolar
:
Vamos reorganizar os termos para agrupar
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na expressão de
:
Primeiro, calculamos
.
Substituindo:
Simplificando:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 7
Agora, usamos a fórmula da reta tangente
com
,
e
:
Podemos deixar a equação na forma explicita para facilitar:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: