Considere os exercícios a seguir envolvendo funções diferenciáveis.
Determine uma equação da reta tangente a
em
.
Determine uma equação da reta tangente a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
, que é o ponto onde a reta vai tocar a função. Substituímos
por 0 na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que nos dará a inclinação da reta tangente. Vamos usar a regra do quociente para derivar
:
A regra do quociente diz que:
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Primeiro, derivamos
. Aqui, usamos a regra do produto:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia:
E a derivada de
é simplesmente 1. Então:
Passo 5
Agora, derivamos
:
Passo 6
Voltando à derivada de
:
Vamos simplificar isso substituindo
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 7
Agora que temos o ponto de tangência
e a inclinação
, podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente a
em
é: