Considere os exercícios a seguir envolvendo funções diferenciáveis.
Determine uma equação da reta tangente a h(x)=3^x^2(x-raiz2)2+x^2 em x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à função no ponto onde . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de h(0) = 3^0^2(0 - raiz2)2 + 0^2 = 3^0( - raiz2)2 = 1 cdot (-raiz2)2 = -raiz22 , que é o ponto onde a reta vai tocar a função. Substituímos por 0 na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de h(x) = f(x)g(x) onde f(x) = 3^x^2(x - raiz2) e g(x) = 2 + x^2 , que nos dará a inclinação da reta tangente. Vamos usar a regra do quociente para derivar h'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 :
A regra do quociente diz que:
Vamos calcular e separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos f'(x) = ddx[3^x^2] cdot (x - raiz2) + 3^x^2 cdot ddx(x - raiz2) . Aqui, usamos a regra do produto:
ddx[3^x^2] = 3^x^2 cdot ln(3) cdot 2x
Para derivar f'(x) = 3^x^2 cdot ln(3) cdot 2x cdot (x - raiz2) + 3^x^2 cdot 1 = 3^x^2 [2x ln(3)(x - raiz2) + 1] , usamos a regra da cadeia:
E a derivada de é simplesmente 1. Então:

Passo 5

Agora, derivamos g'(x) = 2x :

Passo 6

Voltando à derivada de h'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 = 3^x^2 [2x ln(3)(x - raiz2) + 1] (2 + x^2) - 3^x^2(x - raiz2) cdot 2x(2 + x^2)^2 :
h'(0) = 3^0 [2 cdot 0 cdot ln(3)(0 - raiz2) + 1] (2 + 0^2) - 3^0(0 - raiz2) cdot 2 cdot 0(2 + 0^2)^2 = 1 cdot (0 + 1) cdot 2 - 1 cdot (-raiz2) cdot 04 = 2 - 04 = 24 = 12
Vamos simplificar isso substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Agora que temos o ponto de tangência y = m(x - x0) + y0 e a inclinação y = 12(x - 0) - raiz22 implies y = 12x - raiz22 , podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente a y = 12x - raiz22 em é:

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