Seja f a função definida por
f(x)= x^2-3 x+2 & se x <= 2 x^2+3 x-10 & se x>2
Determine se f é derivável em 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) $ que muda a expressão dependendo de $ x $. Para valores de $ x $ menores ou iguais a 2, usamos $ x^{2} - 3x + 2 $, e para $ x $ maiores que 2, usamos $ x^{2} + 3x - 10 $. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é derivável quando $ x = 2 $. Ou seja, queremos saber se conseguimos encontrar uma inclinação bem definida naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que para a função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua ali. Então, vamos verificar se $ f(x) $ é contínua em $ x = 2 $. Isso significa que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda tem que ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de $ f(2) $.

Passo 3

Vamos calcular $ f(2) $ usando a primeira expressão, já que $ x \leq 2 $:
f(2)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^- $):
f(x)

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita ($ x \to 2^+ $):
f(x)

Passo 6

Como vimos, $ f(2) = 0 $, $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = 0 $ e $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 0 $. Isso significa que a função é contínua em $ x = 2 $.

Passo 7

Agora que sabemos que $ f(x) $ é contínua em 2, vamos verificar a derivabilidade. Para isso, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $ quando $ x \leq 2 $ e quando $ x > 2 $, e ver se ambas são iguais em $ x = 2 $.

Passo 8

Primeiro, derivamos $ f(x) $ para $ x \leq 2 $:
f(x)
Então, $ f’(2^-) = 2 \times 2 - 3 = 4 - 3 = 1 $

Passo 9

Agora, derivamos $ f(x) $ para $ x > 2 $:
f(x)
Então, $ f’(2^+) = 2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7 $

Passo 10

Comparamos as derivadas laterais: $ f’(2^-) = 1 $ e $ f’(2^+) = 7 $. Como elas são diferentes, a função não tem uma derivada única em $ x = 2 $.

Resposta

A função $ f(x) $ não é derivável em $ x = 2 $.

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