Seja
a função definida por
Determine se
é derivável em 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) $ que muda a expressão dependendo de $ x $. Para valores de $ x $ menores ou iguais a 2, usamos $ x^{2} - 3x + 2 $, e para $ x $ maiores que 2, usamos $ x^{2} + 3x - 10 $. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é derivável quando $ x = 2 $. Ou seja, queremos saber se conseguimos encontrar uma inclinação bem definida naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que para a função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua ali. Então, vamos verificar se $ f(x) $ é contínua em $ x = 2 $. Isso significa que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda tem que ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de $ f(2) $.
Passo 3
Vamos calcular $ f(2) $ usando a primeira expressão, já que $ x \leq 2 $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^- $):
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita ($ x \to 2^+ $):
Passo 6
Como vimos, $ f(2) = 0 $, $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = 0 $ e $ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 0 $. Isso significa que a função é contínua em $ x = 2 $.
Passo 7
Agora que sabemos que $ f(x) $ é contínua em 2, vamos verificar a derivabilidade. Para isso, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $ quando $ x \leq 2 $ e quando $ x > 2 $, e ver se ambas são iguais em $ x = 2 $.
Passo 8
Primeiro, derivamos $ f(x) $ para $ x \leq 2 $:
Então, $ f’(2^-) = 2 \times 2 - 3 = 4 - 3 = 1 $
Passo 9
Agora, derivamos $ f(x) $ para $ x > 2 $:
Então, $ f’(2^+) = 2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7 $
Passo 10
Comparamos as derivadas laterais: $ f’(2^-) = 1 $ e $ f’(2^+) = 7 $. Como elas são diferentes, a função não tem uma derivada única em $ x = 2 $.
Resposta
A função $ f(x) $ não é derivável em $ x = 2 $.