Sem resolver, determine o intervalo de validade para o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
com a condição inicial $ y(4) = -3 $. O objetivo aqui é determinar o intervalo de validade dessa solução sem realmente resolver a equação. Vamos precisar entender onde a equação e as funções envolvidas estão bem definidas.
Passo 2
Vamos analisar os pontos onde a equação pode não estar bem definida. Olhe para o termo $ t^{2} - 9 $ que multiplica $ y’ $. Se $ t^{2} - 9 = 0 $, o coeficiente de $ y’ $ se torna zero, o que pode causar problemas na solução da equação. Então, encontramos os valores de $ t $ que tornam $ t^{2} - 9 = 0 $:
Esses são pontos críticos onde a equação pode não ser válida.
Passo 3
Além disso, precisamos considerar o domínio da função logarítmica $ \ln |20 - 4t| $. Para que o logaritmo esteja definido, o argumento deve ser positivo:
Então, $ t $ deve ser menor que 5 para que a função logaritmo seja válida.
Passo 4
Agora, combinamos essas restrições. Sabemos que a solução deve passar pelo ponto $ t = 4 $. Então, estamos interessados no intervalo que contém $ t = 4 $ e que não inclui os pontos onde a equação não está bem definida, ou seja, $ t = 3 $ e $ t = -3 $, além de respeitar a condição $ t < 5 $.
Passo 5
O intervalo que satisfaz todas essas condições é entre $ t = 3 $ e $ t = 5 $. Nesse intervalo, a equação está bem definida, o logaritmo é válido, e inclui o ponto inicial $ t = 4 $.
Resposta
O intervalo de validade é $ 3 < t < 5 $.