Considere que exista uma densidade volumétrica de carga elétrica em todo o espaço, menos em uma cavidade esférica de raio
Calcule a densidade de fluxo elétrico (\vec{D}(\vec{r})] em todos os pontos do espaço.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: calcular a densidade de fluxo elétrico
onde
são constantes.
- Informação implícita importante: a distribuição é esfericamente simétrica (depende apenas de
).]
Passo 2
Escolha da superfície de Gauss e fórmula que vamos usar (motivação didática).
- Por simetria esférica, a única forma compatível para
é radial e com módulo dependendo só de . Ou seja
onde
é o vetor unitário radial e
é uma função escalar de
.
- A lei integral de Gauss para
afirma:
onde
é a carga total contida no volume encerado pela superfície
,
é o elemento de área orientado para fora.
- Vamos escolher como superfície de Gauss uma esfera centrada na origem (mesmo centro da cavidade) de raio
. Isso simplifica porque é radial e constante em módulo na superfície esférica, e a área da esfera é . - Assim, a relação de Gauss reduz-se a
onde
é a carga total para
(integrada sobre o volume interno até
).
Passo 3
Caso
(ponto dentro da cavidade): cálculo de
e
.
- Para qualquer esfera de raio
toda a região interior tem densidade (pelo enunciado). Portanto a carga contida nessa esfera é zero:
- Pela relação de Gauss,
- Logo, em forma vetorial,
Passo 4
Caso
: cálculo da carga encerrada
.
- Para
, a carga encerrada por uma esfera de raio vem da região entre e , porque para a densidade é zero. Para integrar, usaremos elemento de volume esférico . - Escrevendo explicitamente a integral (uso de
como variável de integração para não confundir com o raio da superfície de Gauss):
- Simplificando o integrando:
- Integrando:
- Avaliando o colchete:
Passo 5
Determinação de
para
usando Gauss.
- Aplicando a relação de Gauss
e substituindo o obtido:
- Cancelando
e isolando :
- Em forma vetorial radial:
Passo 6
Verificações e comentários finais (intuição e comportamento assintótico).
- Continuidade em
: a carga encaixada em é zero (integral de a dá zero), então , que coincide com . Portanto é contínuo na fronteira . - Comportamento para
: o termo dominante é , que corresponde ao campo de uma carga total
ou seja, para grandes distâncias a distribuição se comporta como uma carga pontual
no centro.
- Resumo físico curto: dentro da cavidade não há fluxo (zero), fora a distribuição produz um
radial dado pela expressão acima, que decai como à distância grande.