Considere que exista uma densidade volumétrica de carga elétrica em todo o espaço, menos em uma cavidade esférica de raio R\). Esta densidade de carga é dada por: \[\rho_{V}(r)= \begin{cases}0, & \text { se } r<R \\\ \rho_{0}(R / r)^{4}, & \text { se } r \geq R\end{cases}
Calcule a densidade de fluxo elétrico (\vec{D}(\vec{r})] em todos os pontos do espaço.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: calcular a densidade de fluxo elétrico \vec{D}(\vec{r})\) para todo o espaço. - Nos dá a densidade volumétrica de carga, em coordenadas radiais (função só de \(r\)): \[\rho_{V}(r)= \begin{cases}0, & \text{se } r<R, \\[4pt] \rho_{0}\left(\dfrac{R}{r}\right)^{4}, & \text{se } r\ge R,\end{cases}
onde R>0\] e \(\rho_{0} são constantes.
  • Informação implícita importante: a distribuição é esfericamente simétrica (depende apenas de r).]

Passo 2

Escolha da superfície de Gauss e fórmula que vamos usar (motivação didática).
  • Por simetria esférica, a única forma compatível para \vec{D}(\vec{r}) é radial e com módulo dependendo só de r. Ou seja
\vec{D}(\vec{r}) = D(r)\,\hat{r},
onde \hat{r} é o vetor unitário radial e D(r) é uma função escalar de r.
  • A lei integral de Gauss para \vec{D} afirma:
\oint_{S} \vec{D}\cdot d\vec{A} = Q_{\text{enc}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume encerado pela superfície S, d\vec{A} é o elemento de área orientado para fora.
  • Vamos escolher como superfície de Gauss uma esfera centrada na origem (mesmo centro da cavidade) de raio r. Isso simplifica porque \vec{D} é radial e constante em módulo na superfície esférica, e a área da esfera é 4\pi r^{2}.
  • Assim, a relação de Gauss reduz-se a
D(r)\,4\pi r^{2} = Q_{\text{enc}}(r),
onde Q_{\text{enc}}(r) é a carga total para r'<r (integrada sobre o volume interno até r).

Passo 3

Caso r<R (ponto dentro da cavidade): cálculo de Q_{\text{enc}} e \vec{D}.
  • Para qualquer esfera de raio r<R toda a região interior tem densidade \rho_{V}=0 (pelo enunciado). Portanto a carga contida nessa esfera é zero:
Q_{\text{enc}}(r)=0\qquad\text{para }r<R.
  • Pela relação de Gauss,
D(r)\,4\pi r^{2}=0\quad\Rightarrow\quad D(r)=0\quad\text{para }r<R.
  • Logo, em forma vetorial,
\vec{D}(\vec{r})=\vec{0}\qquad\text{para }r<R.

Passo 4

Caso r\ge R: cálculo da carga encerrada Q_{\text{enc}}(r).
  • Para r\ge R, a carga encerrada por uma esfera de raio r vem da região entre r'=R e r'=r, porque para r'<R a densidade é zero. Para integrar, usaremos elemento de volume esférico dV = 4\pi r'^{2}dr'.
  • Escrevendo explicitamente a integral (uso de r' como variável de integração para não confundir com o raio da superfície de Gauss):
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{V_{r}} \rho_{V}(\,r'\,)\,dV = \int_{r'=R}^{r'=r} \rho_{0}\left(\dfrac{R}{r'}\right)^{4} \,4\pi r'^{2}\,dr'.
  • Simplificando o integrando:
\rho_{0}\left(\dfrac{R}{r'}\right)^{4} 4\pi r'^{2} =4\pi \rho_{0} R^{4}\, r'^{-2}.
  • Integrando:
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi \rho_{0} R^{4}\int_{R}^{r} r'^{-2}\,dr' =4\pi \rho_{0} R^{4}\left[-\dfrac{1}{r'}\right]_{R}^{r}.
  • Avaliando o colchete:
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi \rho_{0} R^{4}\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r}\right) =4\pi \rho_{0} R^{3}\left(1-\dfrac{R}{r}\right).

Passo 5

Determinação de D(r) para r\ge R usando Gauss.
  • Aplicando a relação de Gauss D(r)\,4\pi r^{2}=Q_{\text{enc}}(r) e substituindo o Q_{\text{enc}}(r) obtido:
D(r)\,4\pi r^{2}=4\pi \rho_{0} R^{3}\left(1-\dfrac{R}{r}\right).
  • Cancelando 4\pi e isolando D(r):
D(r)=\rho_{0} R^{3}\dfrac{1-\dfrac{R}{r}}{r^{2}} =\rho_{0} R^{3}\left(\dfrac{1}{r^{2}}-\dfrac{R}{r^{3}}\right).
  • Em forma vetorial radial:
\vec{D}(\vec{r})= \rho_{0} R^{3}\left(\dfrac{1}{r^{2}}-\dfrac{R}{r^{3}}\right)\hat{r} \qquad\text{para }r\ge R.

Passo 6

Verificações e comentários finais (intuição e comportamento assintótico).
  • Continuidade em r=R: a carga encaixada em r=R é zero (integral de R a R dá zero), então D(R^+)=0, que coincide com D(R^-)=0. Portanto \vec{D} é contínuo na fronteira r=R.
  • Comportamento para r\to\infty: o termo dominante é \rho_{0}R^{3}/r^{2}, que corresponde ao campo de uma carga total
Q_{\text{total}}=\lim_{r\to\infty}Q_{\text{enc}}(r)=4\pi \rho_{0} R^{3},
ou seja, para grandes distâncias a distribuição se comporta como uma carga pontual Q_{\text{total}} no centro.
  • Resumo físico curto: dentro da cavidade não há fluxo (zero), fora a distribuição produz um \vec{D} radial dado pela expressão acima, que decai como 1/r^{2} à distância grande.

Resposta

\vec{D}(\vec{r})=\begin{cases} \vec{0}, & \text{se } r<R,\\[6pt] \rho_{0} R^{3}\displaystyle\left(\dfrac{1}{r^{2}}-\dfrac{R}{r^{3}}\right)\hat{r}, & \text{se } r\ge R. \end{cases}]

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