Exercício 1.13. Determine o valor lógico ( V ou F ) considerando o universo dos números reais.
\forall x, x^{2}>0.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação lógica (considerando o universo dos números reais):
\forall x,\\ x^{2}>0.
Vou listar claramente o que isso pede e o que está dado:
  • Pergunta: determinar o valor lógico (verdadeiro V ou falso F) da afirmação \forall x,\\ x^{2}>0.
  • Universo: todos os números reais.
  • Informação dada: a propriedade a ser verificada para cada x é que x^{2}>0.

Passo 2

Explicação do que significa a afirmação \forall x,\\ x^{2}>0.
  • O quantificador \forall x significa “para todo x no universo (aqui, todo número real)”.
  • A condição x^{2}>0 significa que o quadrado de x é estritamente maior que zero.
    Portanto a afirmação diz: “para todo número real x, o quadrado de x é estritamente positivo”.

Passo 3

Como decidir se uma afirmação com \forall é verdadeira ou falsa (estratégia).
  • Para provar que \forall x,\\ P(x) é verdadeira, seria necessário mostrar que P(x) vale para um x arbitrário; ou seja, um argumento que funcione para qualquer x.
  • Para mostrar que \forall x,\\ P(x) é falsa, basta encontrar um contraexemplo: um único elemento a do universo tal que P(a) seja falso. Encontrar um contraexemplo é a forma mais simples e direta de refutar uma afirmação universal.

Passo 4

Procurando um possível contraexemplo para x^{2}>0.
  • Pense nos números que dão quadrado igual a zero. Sabemos que 0 é o número cujo quadrado é 0.
  • Teste x=0.

Passo 5

Verificação do contraexemplo x=0.
0^{2}=0.
A condição da declaração exige x^{2}>0. Para x=0 temos 0^{2}=0, e 0 não é maior do que 0. Em símbolos:
0^{2}=0\quad\text{e}\quad 0\not>0.
Logo P(0) (onde P(x) é “ x^{2}>0”) é falsa. Portanto existe um x no universo (especificamente x=0) que torna a propriedade falsa.

Passo 6

Conclusão lógica e observações finais (tom de incentivo).
  • Como encontramos um contraexemplo ( x=0) que faz a propriedade falhar, a afirmação universal \forall x,\\ x^{2}>0 é falsa.
  • Comentário útil para a prova: se a afirmação tivesse sido \forall x,\\ x^{2}\ge 0, aí sim seria verdadeira para todos os reais. Outra forma de tornar a afirmação dada verdadeira seria mudar o universo para “números reais não nulos” e então verificar \forall x\neq 0,\\ x^{2}>0, que é verdade.

Resposta

F

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