Exercício 1.13. Determine o valor lógico ( V ou F ) considerando o universo dos números reais.
.
Passo 1
O enunciado dá a afirmação lógica (considerando o universo dos números reais):
Vou listar claramente o que isso pede e o que está dado:
- Pergunta: determinar o valor lógico (verdadeiro
ou falso ) da afirmação . - Universo: todos os números reais.
- Informação dada: a propriedade a ser verificada para cada
é que .
Passo 2
Explicação do que significa a afirmação
.
- O quantificador
significa “para todo no universo (aqui, todo número real)”. - A condição
significa que o quadrado de é estritamente maior que zero.
Portanto a afirmação diz: “para todo número real, o quadrado de é estritamente positivo”.
Passo 3
Como decidir se uma afirmação com
é verdadeira ou falsa (estratégia).
- Para provar que
é verdadeira, seria necessário mostrar que vale para um arbitrário; ou seja, um argumento que funcione para qualquer . - Para mostrar que
é falsa, basta encontrar um contraexemplo: um único elemento do universo tal que seja falso. Encontrar um contraexemplo é a forma mais simples e direta de refutar uma afirmação universal.
Passo 4
Procurando um possível contraexemplo para
.
- Pense nos números que dão quadrado igual a zero. Sabemos que
é o número cujo quadrado é . - Teste
.
Passo 5
Verificação do contraexemplo
.
A condição da declaração exige
. Para
temos
, e
não é maior do que
. Em símbolos:
Logo
(onde
é “
”) é falsa. Portanto existe um
no universo (especificamente
) que torna a propriedade falsa.
Passo 6
Conclusão lógica e observações finais (tom de incentivo).
- Como encontramos um contraexemplo (
) que faz a propriedade falhar, a afirmação universal é falsa. - Comentário útil para a prova: se a afirmação tivesse sido
, aí sim seria verdadeira para todos os reais. Outra forma de tornar a afirmação dada verdadeira seria mudar o universo para “números reais não nulos” e então verificar , que é verdade.
Resposta
F