Dado o potencial eletrostático
calcule:
(a)
campo elétrico
;
(b) A densidade volumétrica de carga
que deu origem a este potencial.
(a)
(b) A densidade volumétrica de carga
Passo 1
O enunciado fornece o potencial eletrostático
e pede duas coisas:
- (a) calcular o campo elétrico
; - (b) calcular a densidade volumétrica de carga
que originou esse potencial.
Informações dadas:
- A função
é a expressão explícita do potencial em função das coordenadas , e : .
O que se pede (claramente):
- Determinar
em termos de . - Determinar
em termos de .
Passo 2
Conceito usado para (a): relação entre potencial e campo elétrico.
Explicação didática: o campo elétrico
é obtido a partir do potencial escalar
pela operação gradiente seguida de sinal negativo. Em palavras: o campo aponta na direção de maior diminuição do potencial e a intensidade componente é dada pela derivada do potencial nessa direção.
Fórmula que vamos usar:
Aqui
(o gradiente de
) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Nota sobre derivadas parciais: para calcular
trata-se
e
como constantes e deriva em relação a
; análogo para as outras.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Dado
:
- Derivada parcial em relação a
:
No termo
,
é tratado como constante, então a derivada é
. O termo
não depende de
então sua derivada é
. Portanto
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui
é tratado como constante e a derivada de
é
, então do primeiro termo vem
. O termo
não depende de
e contribui com
. Logo
- Derivada parcial em relação a
:
O termo
não depende de
(derivada
) e a derivada de
é
. Assim
Passo 4
Montar o gradiente e aplicar o sinal negativo para obter
.
Temos
Aplicando
obtemos
Comentário prático: cada componente do campo é simplesmente o negativo da derivada parcial correspondente do potencial. Isso é direto de
.
Passo 5
Conceito usado para (b): relação entre campo elétrico, potencial e densidade de carga (equações de Maxwell estáticas).
Explicação didática: a equação diferencial que relaciona o potencial
com a densidade volumétrica de carga
no eletrostático é a equação de Poisson:
onde
é o laplaciano de
(soma das segundas derivadas parciais) e
é a permissividade do vácuo. Rearranjando, a densidade de carga é
Alternativa equivalente (usando o campo): a lei de Gauss diferencial diz
. Como
, tem-se
, levando à mesma expressão para
.
Passo 6
Calcular o laplaciano
.
Definição:
Já temos as primeiras derivadas; agora as segundas:
-
, porque não depende de . -
, pois a derivada de em relação a é (trata-se como constante). -
.
Somando,
Passo 7
Obter a densidade volumétrica de carga
.
Usando
e o resultado do passo anterior,
Verificação alternativa rápida (opcional): calcular
a partir de
e usar
.
logo
, que coincide com o anterior.