Dado o potencial eletrostático V(x, y, z)=3 x y^{2}+4 z calcule:
(a) O campo elétrico \vec{E};
(b) A densidade volumétrica de carga \rho_{V} que deu origem a este potencial.

Passo 1

O enunciado fornece o potencial eletrostático V(x,y,z)=3 x y^{2}+4 z e pede duas coisas:
  • (a) calcular o campo elétrico \vec{E};
  • (b) calcular a densidade volumétrica de carga \rho_{V} que originou esse potencial.
Informações dadas:
  • A função V(x,y,z) é a expressão explícita do potencial em função das coordenadas x, y e z: V(x,y,z)=3 x y^{2}+4 z.
O que se pede (claramente):
  • Determinar \vec{E} em termos de x,y,z.
  • Determinar \rho_{V} em termos de x,y,z.

Passo 2

Conceito usado para (a): relação entre potencial e campo elétrico.
Explicação didática: o campo elétrico \vec{E} é obtido a partir do potencial escalar V pela operação gradiente seguida de sinal negativo. Em palavras: o campo aponta na direção de maior diminuição do potencial e a intensidade componente é dada pela derivada do potencial nessa direção.
Fórmula que vamos usar:
\vec{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla V (o gradiente de V) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de V em relação a x, y e z:
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\; \frac{\partial V}{\partial y},\; \frac{\partial V}{\partial z}\right).
Nota sobre derivadas parciais: para calcular \frac{\partial V}{\partial x} trata-se y e z como constantes e deriva em relação a x; análogo para as outras.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de V.
Dado V(x,y,z)=3 x y^{2}+4 z:
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(3 x y^{2}+4 z\right).
No termo 3 x y^{2}, y^{2} é tratado como constante, então a derivada é 3 y^{2}. O termo 4 z não depende de x então sua derivada é 0. Portanto
\frac{\partial V}{\partial x}=3 y^{2}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(3 x y^{2}+4 z\right).
Aqui x é tratado como constante e a derivada de y^{2} é 2y, então do primeiro termo vem 3 x \cdot 2y = 6 x y. O termo 4 z não depende de y e contribui com 0. Logo
\frac{\partial V}{\partial y}=6 x y.
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left(3 x y^{2}+4 z\right).
O termo 3 x y^{2} não depende de z (derivada 0) e a derivada de 4 z é 4. Assim
\frac{\partial V}{\partial z}=4.

Passo 4

Montar o gradiente e aplicar o sinal negativo para obter \vec{E}.
Temos
\nabla V=\left(3 y^{2},\;6 x y,\;4\right).
Aplicando \vec{E}=-\nabla V obtemos
\vec{E} = \left(-3 y^{2},\;-6 x y,\;-4\right).
Comentário prático: cada componente do campo é simplesmente o negativo da derivada parcial correspondente do potencial. Isso é direto de \vec{E}=-\nabla V.

Passo 5

Conceito usado para (b): relação entre campo elétrico, potencial e densidade de carga (equações de Maxwell estáticas).
Explicação didática: a equação diferencial que relaciona o potencial V com a densidade volumétrica de carga \rho_{V} no eletrostático é a equação de Poisson:
\nabla^{2} V = -\frac{\rho_{V}}{\varepsilon_{0}},
onde \nabla^{2}V é o laplaciano de V (soma das segundas derivadas parciais) e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Rearranjando, a densidade de carga é
\rho_{V} = -\varepsilon_{0}\,\nabla^{2} V.
Alternativa equivalente (usando o campo): a lei de Gauss diferencial diz \nabla\cdot\vec{E}=\rho_{V}/\varepsilon_{0}. Como \vec{E}=-\nabla V, tem-se \nabla\cdot\vec{E}=-\nabla^{2}V, levando à mesma expressão para \rho_{V}.

Passo 6

Calcular o laplaciano \nabla^{2}V.
Definição:
\nabla^{2} V = \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}.
Já temos as primeiras derivadas; agora as segundas:
  • \displaystyle \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(3 y^{2}\right)=0, porque 3 y^{2} não depende de x.
  • \displaystyle \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(6 x y\right)=6 x, pois a derivada de 6 x y em relação a y é 6 x (trata-se x como constante).
  • \displaystyle \frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}} = \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)=\frac{\partial}{\partial z}\left(4\right)=0.
Somando,
\nabla^{2} V = 0 + 6 x + 0 = 6 x.

Passo 7

Obter a densidade volumétrica de carga \rho_{V}.
Usando \rho_{V} = -\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V e o resultado do passo anterior,
\rho_{V} = -\varepsilon_{0}\,(6 x) = -6\,\varepsilon_{0}\,x.
Verificação alternativa rápida (opcional): calcular \nabla\cdot\vec{E} a partir de \vec{E}=(-3 y^{2},-6 x y,-4) e usar \rho_{V}=\varepsilon_{0}\nabla\cdot\vec{E}.
\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\partial}{\partial x}(-3 y^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(-6 x y)+\frac{\partial}{\partial z}(-4)=0-6 x+0=-6 x,
logo \rho_{V}=\varepsilon_{0}(-6 x)=-6\varepsilon_{0}x, que coincide com o anterior.

Resposta

\vec{E} = \left(-3 y^{2},\;-6 x y,\;-4\right)
\rho_{V} = -6\,\varepsilon_{0}\,x

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