Considere a densidade volumétrica de carga elétrica dada por:
\rho_{V}(r)= \begin{cases}0, & \text { se } r<a \\\ \rho_{0}=\text { constante }, & \text { se } a<r<b \\\\ 0, & \text { se } r>b\end{cases}
Calcule a densidade de fluxo elétrico \vec{D}(\vec{r}) nas três regiões.

Passo 1

O enunciado dá a densidade volumétrica de carga elétrica \rho_{V}(r) radial e peçaça que seja calculada a densidade de fluxo elétrico \vec{D}(\vec{r}) nas três regiões. Dados extraídos do enunciado:
  • \rho_{V}(r)=0 se r<a.
  • \rho_{V}(r)=\rho_{0} (constante) se a<r<b.
  • \rho_{V}(r)=0 se r>b.
O que é pedido: encontrar \vec{D}(\vec{r}) para as três faixas de r: r<a, a<r<b e r>b. Não foi dada nenhuma superfície ou carga superficial, só a distribuição volumétrica acima.

Passo 2

Escolha do método: devido à dependência apenas de r (distribuição esfericamente simétrica), o método mais simples e direto é usar a forma integral da lei de Gauss para \vec{D}:
\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{A}=Q_{\text{enc}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total (livre) dentro da superfície fechada S. Vou escolher S como uma esfera de raio r. Isso simplifica muito porque, por simetria esférica, \vec{D} terá apenas componente radial e mesmo módulo em toda a esfera.

Passo 3

Por simetria esférica podemos escrever
\vec{D}(\vec{r})=D_{r}(r)\,\hat{r}.
Aplicando a lei de Gauss numa esfera de raio r,
\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{A}=D_{r}(r)\,4\pi r^{2}=Q_{\text{enc}}(r).
Logo,
D_{r}(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi r^{2}}.
Agora o problema reduz-se a calcular Q_{\text{enc}}(r) para cada região a partir de \rho_{V}(r).

Passo 4

Região r<a.
Dentro de uma esfera de raio r<a não há densidade de carga ( \rho_{V}=0 para 0\le r'<a), portanto
Q_{\text{enc}}(r)=0\qquad (r<a).
Usando a fórmula acima,
D_{r}(r)=0\qquad (r<a).
Assim,
\vec{D}(\vec{r})=\vec{0}\qquad (r<a).

Passo 5

Região a<r<b.
Aqui a carga só aparece entre r'=a e r'=r. Calcula-se Q_{\text{enc}}(r) integrando a densidade volumétrica sobre o volume interno até o raio r:
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{V_{enc}}\rho_{V}\,dV =\rho_{0}\cdot 4\pi\int_{a}^{r} r'^{2}\,dr' =\rho_{0}\,4\pi\left[\frac{r'^{3}}{3}\right]_{a}^{r} =\frac{4\pi\rho_{0}}{3}\left(r^{3}-a^{3}\right).
Substituindo em D_{r}(r)=Q_{\text{enc}}/(4\pi r^{2}):
D_{r}(r)=\frac{\dfrac{4\pi\rho_{0}}{3}\left(r^{3}-a^{3}\right)}{4\pi r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{3}\,\frac{r^{3}-a^{3}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{3}\!\left(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\right).
Portanto, na forma vetorial,
\vec{D}(\vec{r})=\frac{\rho_{0}}{3}\!\left(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\right)\hat{r}\qquad (a<r<b).

Passo 6

Região r>b.
Para r>b toda a carga do casquete entre a e b está dentro da superfície esférica de raio r. A carga total é
Q_{\text{total}}= \rho_{0}\,4\pi\int_{a}^{b} r'^{2}\,dr' =\frac{4\pi\rho_{0}}{3}\left(b^{3}-a^{3}\right).
Assim, para r>b,
D_{r}(r)=\frac{Q_{\text{total}}}{4\pi r^{2}} =\frac{\dfrac{4\pi\rho_{0}}{3}\left(b^{3}-a^{3}\right)}{4\pi r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{3}\,\frac{b^{3}-a^{3}}{r^{2}}.
Em forma vetorial,
\vec{D}(\vec{r})=\frac{\rho_{0}}{3}\,\frac{b^{3}-a^{3}}{r^{2}}\\ \hat{r}\qquad (r>b).

Passo 7

Verificações e observações finais (didática rápida):
  • Direção: \vec{D} aponta radialmente para fora ( \hat{r}) se \rho_{0}>0; se \rho_{0}<0 aponta para dentro — isto porque \vec{D} segue o sinal da carga total encerrada.
  • Continuidade em r=a e r=b: avaliando os limites laterais verifica-se que D_{r} é contínuo em r=a (vale zero tanto pela região interna quanto pela expressão para a<r<b) e contínuo em r=b (as expressões internas e externas coincidem em r=b). Isso faz sentido porque não há cargas de superfície nas fronteiras (só carga volumétrica distribuída).
  • Unidade: \vec{D} tem unidades de \text{C}/\text{m}^{2}.

Resposta

\vec{D}(\vec{r})=\vec{0}\quad (r<a)
\vec{D}(\vec{r})=\dfrac{\rho_{0}}{3}\!\left(r-\dfrac{a^{3}}{r^{2}}\right)\hat{r}\quad (a<r<b)
\vec{D}(\vec{r})=\dfrac{\rho_{0}}{3}\,\dfrac{b^{3}-a^{3}}{r^{2}}\\ \hat{r}\quad (r>b)

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