Considere a densidade volumétrica de carga elétrica dada por:
\rho_{V}(r)= \begin{cases}0, & \text { se } r<a \\\ \rho_{0}=\text { constante }, & \text { se } a<r<b \\\\ 0, & \text { se } r>b\end{cases}
Calcule a densidade de fluxo elétrico \vec{D}(\vec{r}) nas três regiões.
Passo 1
O enunciado dá a densidade volumétrica de carga elétrica \rho_{V}(r) radial e peçaça que seja calculada a densidade de fluxo elétrico \vec{D}(\vec{r}) nas três regiões. Dados extraídos do enunciado:
\rho_{V}(r)=0 se r<a.
\rho_{V}(r)=\rho_{0} (constante) se a<r<b.
\rho_{V}(r)=0 se r>b.
O que é pedido: encontrar \vec{D}(\vec{r}) para as três faixas de r: r<a, a<r<b e r>b. Não foi dada nenhuma superfície ou carga superficial, só a distribuição volumétrica acima.
Passo 2
Escolha do método: devido à dependência apenas de r (distribuição esfericamente simétrica), o método mais simples e direto é usar a forma integral da lei de Gauss para \vec{D}:
\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{A}=Q_{\text{enc}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total (livre) dentro da superfície fechada S. Vou escolher S como uma esfera de raio r. Isso simplifica muito porque, por simetria esférica, \vec{D} terá apenas componente radial e mesmo módulo em toda a esfera.
Verificações e observações finais (didática rápida):
Direção: \vec{D} aponta radialmente para fora (\hat{r}) se \rho_{0}>0; se \rho_{0}<0 aponta para dentro — isto porque \vec{D} segue o sinal da carga total encerrada.
Continuidade em r=a e r=b: avaliando os limites laterais verifica-se que D_{r} é contínuo em r=a (vale zero tanto pela região interna quanto pela expressão para a<r<b) e contínuo em r=b (as expressões internas e externas coincidem em r=b). Isso faz sentido porque não há cargas de superfície nas fronteiras (só carga volumétrica distribuída).
Unidade: \vec{D} tem unidades de \text{C}/\text{m}^{2}.